Pour trouver A, associé à $(x-5)$ on multiplie $G(x)$ par $(x-5)$ on simplifie et on fait tendre x vers $5$
On obtient : $\color{red}{(x-5)} G(x) = \dfrac{(-3)\color{red}{(x-5)}} {(x-5)(x+2)} = \dfrac{A\color{red}{(x-5)}}{x-5} + \dfrac{B\color{red}{(x-5)}}{x+2}$

puis $(x-5) G(x) = \dfrac{-3}{x+2} = A + \dfrac{B\color{red}{(x-5)}}{x+2}$

et enfin $\lim\limits_{x\to5} (x-5)G(x) = \dfrac{-3}{7} = A+0$ donc $\fbox{$A = \frac{-3}{7} $} $

Pour trouver B, associé à $(x+2)$ on multiplie $G(x)$ par $(x+2)$ on simplifie et on fait tendre $ x $ vers $ -2 $
On obtient : $\color{red}{(x+2)} G(x) = \dfrac{(-3)\color{red}{(x+2)}}{(x-5)(x+2)} = \dfrac{A\color{red}{(x+2)}}{x-5} + \dfrac{B\color{red}{(x+2)}}{x+2}$

puis $(x+2) G(x) = \dfrac{-3}{x-5} = \dfrac{A(x+2)}{x-5}+ B$

et enfin $\lim\limits_{x\to-2} (x+2)G(x) = \dfrac{-3}{-7} = 0+B$ donc $\fbox{$ B = \frac{3}{7} $} $

On a établi que : $ G(x) = \dfrac{-3}{(x-5)(x+2)} = \dfrac{ \frac{-3}{7} }{x-5}+\dfrac{ \frac{3}{7} }{x+2}$