Pour trouver A, associé à $(x+2)$ on multiplie $G(x)$ par $(x+2)$ on simplifie et on fait tendre x vers $-2$
On obtient : $\color{red}{(x+2)} G(x) = \dfrac{(-8)\color{red}{(x+2)}} {(x+2)(x+4)} = \dfrac{A\color{red}{(x+2)}}{x+2} + \dfrac{B\color{red}{(x+2)}}{x+4}$

puis $(x+2) G(x) = \dfrac{-8}{x+4} = A + \dfrac{B\color{red}{(x+2)}}{x+4}$

et enfin $\lim\limits_{x\to-2} (x+2)G(x) = \dfrac{-8}{2} = A+0$ donc $\fbox{$A =-4$} $

Pour trouver B, associé à $(x+4)$ on multiplie $G(x)$ par $(x+4)$ on simplifie et on fait tendre $ x $ vers $ -4 $
On obtient : $\color{red}{(x+4)} G(x) = \dfrac{(-8)\color{red}{(x+4)}}{(x+2)(x+4)} = \dfrac{A\color{red}{(x+4)}}{x+2} + \dfrac{B\color{red}{(x+4)}}{x+4}$

puis $(x+4) G(x) = \dfrac{-8}{x+2} = \dfrac{A(x+4)}{x+2}+ B$

et enfin $\lim\limits_{x\to-4} (x+4)G(x) = \dfrac{-8}{-2} = 0+B$ donc $\fbox{$ B =4$} $

On a établi que : $ G(x) = \dfrac{-8}{(x+2)(x+4)} = \dfrac{-4}{x+2}+\dfrac{4}{x+4}$