Pour trouver A, associé à $(x-9)$ on multiplie $G(x)$ par $(x-9)$ on simplifie et on fait tendre x vers $9$
On obtient : $\color{red}{(x-9)} G(x) = \dfrac{(1)\color{red}{(x-9)}} {(x-9)(x+1)} = \dfrac{A\color{red}{(x-9)}}{x-9} + \dfrac{B\color{red}{(x-9)}}{x+1}$

puis $(x-9) G(x) = \dfrac{1}{x+1} = A + \dfrac{B\color{red}{(x-9)}}{x+1}$

et enfin $\lim\limits_{x\to9} (x-9)G(x) = \dfrac{1}{10} = A+0$ donc $\fbox{$A = \frac{1}{10} $} $

Pour trouver B, associé à $(x+1)$ on multiplie $G(x)$ par $(x+1)$ on simplifie et on fait tendre $ x $ vers $ -1 $
On obtient : $\color{red}{(x+1)} G(x) = \dfrac{(1)\color{red}{(x+1)}}{(x-9)(x+1)} = \dfrac{A\color{red}{(x+1)}}{x-9} + \dfrac{B\color{red}{(x+1)}}{x+1}$

puis $(x+1) G(x) = \dfrac{1}{x-9} = \dfrac{A(x+1)}{x-9}+ B$

et enfin $\lim\limits_{x\to-1} (x+1)G(x) = \dfrac{1}{-10} = 0+B$ donc $\fbox{$ B = \frac{-1}{10} $} $

On a établi que : $ G(x) = \dfrac{1}{(x-9)(x+1)} = \dfrac{ \frac{1}{10} }{x-9}+\dfrac{ \frac{-1}{10} }{x+1}$