Cet automate résout par la méthode classique certaines équations différentielles.
Les coefficients de $ y $ et de $ y' $ ne devront pas être nuls. Les coefficients peuvent être des fractions.

Résoudre : $ y' + $ $ y = f(t) $ où $ f $ est nulle constante affine exponentielle expo-poly cos ou sin /

$ f(t) = $

$ f(t) = $$ t + $

$ f(t) = $$ EXP \Big( $$ t \Big) $

$ f(t) = \Big($ $ t ~+~ $ $\Big) $ EXP ( $ t ) $

$ f(t) = $cos sin ( $~~ t $)

Sans condition initiale :

sachant que $ y(0) = $

On considère l'équation : $ y'+3y=8 $ sachant que $ y(0) = \frac{2}{3} $

Etape 1 : On recherche toutes les solutions de l'équation homogène associée.
$ a= 1 $ et $ b= 3 $ donc $ F'(t) = \dfrac{b}{a} =3 $
Une primitive est alors $ F(t) = 3 t + 0 $
Toutes les solutions sont les $ y(t) = C e^{-F(t)} = Ce^{-3t} $ où $ C $ est une constante réelle quelconque.

Etape 2 : On recherche une solution particulière de l'équation complète.
Le second membre est une constante
donc on recherche une solution particulière $ y_p $ sous la forme d'une constante.

Dans ce cas $ y_p(t) = K $ donc $ y_p'(t) = 0 $

L'équation devient : $ 1 \times 0 +3 \times K = 8 $ donc $ K = \frac{8}{3} $

Une solution particulière de l'équation avec second membre est alors $ y_p(t) = \frac{8}{3} $

Etape 3 : $ y $ est une solution de l'équation équivaut à $ y - y_p $ est une solution de (SSM)
donc toutes les solutions de l'équation complète sont les sommes : $ y(t) = Ce^{-3t} +\frac{8}{3} $

Etape 4 : Puisque $ y(0) = \frac{2}{3} $ on a : $ \frac{2}{3} = C e^0 +\frac{8}{3} $ donc $ C = -2 $

L'unique solution du problème est alors $ \fbox{ $ y(t) = -2e^{-3 t } +\frac{8}{3} $ } $

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