Cet automate réalise une étude automatique de la fonction $ f $ définie sur $ \mathbb{R} $ par : $ f(x) = \Big(a x + b\Big)\times e^{c x} $

On considère la fonction $ f $ définie sur $ \mathbb{R} $ par : $ f(x) = \left(2x+3\right)e^{x } $
$ \fbox{Calculs des limites } $

En $ +\infty $
D'une par $ \lim\limits_{x\to+\infty} e^{x} = +\infty \qquad~ $ d'autre part $ \lim\limits_{x\to+\infty} 2x+3=+\infty \qquad $ on a donc $ \lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = +\infty $

En $ -\infty $
D'une par $ \lim\limits_{x\to-\infty} e^{x} = 0 \qquad~ $ d'autre part $ \lim\limits_{x\to-\infty} 2x+3=-\infty \qquad $ on obtient une forme indéterminée.
Mais $ f(x) = 2xe^{x }+3e^{x } $ et on sait déjà $ \lim\limits_{x\to-\infty} e^{x} = 0 $ par ailleurs, le cours donne $ \lim\limits_{x\to-\infty} xe^{x } = 0 $ par croissances comparées donc $ \lim\limits_{x\to-\infty} f(x) = 0+0 = 0 $


$ \fbox{Etude des variations} $

La dérivée a pour forme $ (u\times v)' = u'\times v + u\times v' $

On obtient : $ f'(x) = 2e^{x }+\left(2x+3\right)\times 1\times e^{x } $

Puis : $ f'(x) = 2e^{x }+\left(2x+3\right) \times e^{x } $

Puis : $ f'(x) = e^{x }\times \left(2+2x+3\right) $

C'est à dire : $ f'(x) = e^{x }\times \left(2x+5\right) $

$ e^{x } $ est toujours strictement positif

$ 2x+5 =0 $ ssi $ 2x = -5 $ $ \qquad ~ $ elle s'annule donc en $ x = \dfrac{-5}{2} $

Or $ x\mapsto 2x+5 $ est une fonction affine, strictement croissante

Elle est négative avant $ \dfrac{-5}{2} $ puis positive après.
On dispose donc du tableau de variation suivant : $ \begin{array}{|c| l c c r|} \hline x & -\infty & & \dfrac{-5}{2} & & +\infty \\\hline e^{x } & & + & & + & \\ \hline 2x+5 & & - & 0 & + & \\\hline f'(x) & & - & 0 & + & \\ \hline & 0 & & &&+\infty\\ f & & \searrow & & \nearrow &\\ & & & {}_{min} & & \\ \hline \end{array} $
Si la courbe (si elle est visible) est alors : Votre navigateur ne supporte pas la balise canvas