On considère le polynôme : $ P(x) = $ $ 2x^2+4x-6 $
Forme canonique
$ P(x) = 2\left(x^2+2x-3\right) $
$ P(x) = 2\left(\left(x+1\right)^2-1^2-3\right) $
$ P(x) = 2\left(\left(x+1\right)^2-1-3\right) $
$ P(x) = 2\left(\left(x+1\right)^2-4\right) $
Factorisation avec la forme canonique
$ P(x) = 2\left(\left(x+1\right)^2-\sqrt{4}^2\right) $
$ P(x) = 2\left(\left(x+1\right)^2-\left(2\right)^2\right) $
$ P(x) = 2\left( x +1-2 \right)\left( x +1+2 \right) $
$ P(x) = 2\left(x-1\right)\left(x+3\right) $
Factorisation sans la forme canonique mais avec le discriminant
Si on note $ P(x) = ax^2 + bx+c $ alors :
$ \Delta = b^2-4ac = 4^2-4\times2\times\left(-6\right) = 64>0 $ delta est strictement positif
On calcule $ x_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\quad \text{et}\quad x_2 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$
Cela donne $ x_1 = \dfrac{-4-\sqrt{64}}{4}\quad \text{et}\quad x_2 = \dfrac{-4+\sqrt{64}}{4}$
Puis $ x_1 = -3\quad \text{et}\quad x_2 = 1 $
La factorisation est $ P(x) = 2\left(x+3\right)\left(x-1\right) $
Solution de $ P(x) = 0 $ utilisant la factorisation
$ P(x) = 0\quad\text{ssi}\quad 2\left(x+3\right)\left(x-1\right) = 0$
or un produit de facteurs est nul ssi l'un des facteurs est nul
donc $ \left(x+3\right) = 0\quad\text{ou}\quad \left(x-1\right) = 0 $
donc $ x = -3 \quad \text{ou}\quad x = 1 $
Tableau de signe
$ P(x) = 2\left(x+3\right)\left(x-1\right) $
Notons $ x_1 = -3 \quad \text{et}\quad x_2 = 1 $
Le facteur de $ x^2 $ est $ 2 $ , il est positif et les facteurs sont affines croissants, on a donc le tableau de signe suivant :
$$ \begin{array}{ |c| l ccc cc r|}
\hline x &-\infty & & x_1 & & x_2 & &+ \infty \\
\hline 2 & & + & & + & & + & \\
\hline (x-x_1) & & - & 0 & + & | & + & \\
\hline (x-x_2) & & - & | & - & 0 & + & \\
\hline P(x) & & + & 0 & - & 0 & + & \\
\hline\end{array} $$
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