Puisque $(U_n)$ est arithmétique, pour tout $n$, on a : $U_n = U_0+n\times r$ où $r$ est la raison
On a donc $10 = 2 + 4\times r$ donc $8 = 4\times r$ donc $r=2$

Puisque $(U_n)$ est arithmétique, pour tout $n$, on a : $U_n = U_0+n\times r$ où $r$ est la raison
On a donc $10 = U_9 = U_0+9\times r$ et $1 = U_2 = U_0+2\times r$
Donc par différence : $9 = 7\times r$ donc $r = \dfrac{9}{7}$
Puis de $1 = U_0+2\times \dfrac{9}{7}$ on déduit : $U_0 = 1- \dfrac{18}{7} = \dfrac{-11}{7}$

Puisque $(U_n)$ est géométrique, pour tout $n$, on a : $U_n = U_0\times q^n$ où $q$ est la raison
On a donc $2 = U_2 = U_0\times q^2$ et $10 = U_4 = U_0\times q^4$
Donc par quotient : $5 = q^2$ donc $r = \pm\sqrt{5}$
Il y a donc deux solutions possibles : $q=\sqrt{5}$ et $q=-\sqrt{5}$
Puisque $2 = U_2 = U_0\times q^2$ on a dans les deux cas : $2 = U_n\times 5$ donc $U_n = \dfrac{2}{5}$

1) $U_1 = 1$, $U_2\approx 1,33$, $U_3\approx 1,44$

Puisque $\dfrac{U_1}{U_0}$ n'existe pas, elle n'est pas géométrique

Puisque $U_1-U_0 = 1$ et $U_2-U_1 \neq 1$, elle n'est pas arithmétique

2) a) Soit $n\in I\!\!N$, on a : $V_{n+1} = U_{n+1}-1.5$

Puis $V_{n+1} = \left(\dfrac{1}{3}U_n + 1\right)-1.5 = \dfrac{1}{3}U_n-\dfrac{1}{2}$
Puisque $V_n = U_n-1.5$ on a : $U_n = V_n+1.5$ donc $V_{n+1} = \dfrac{1}{3}(V_n+1.5)-\dfrac{1}{2}$
Donc $V_{n+1} = \dfrac{1}{3}V_n$.

b) On peut donc affirmer que la suite $(V_n)$ est géométrique.
Sa raison est $q= \dfrac{1}{3}$ et son premier terme $V_0 = U_0-1.5 = -1.5 = -\dfrac{3}{2}$
c) On peut alors en déduire que $V_n = -\left(\dfrac{1}{3}\right)^n\times \dfrac{3}{2}$
Puisque $U_n = V_n+\dfrac{3}{2}$, on a ensuite $U_n = -\left(\dfrac{1}{3}\right)^n\times \dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2}$
d) Lorsque $n$ tend vers $+\infty$, le terme $\left(\dfrac{1}{3}\right)^n$ tend vers 0 donc $U_n$ tend vers $\dfrac{3}{2}$
On a : $\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}U_n = \dfrac{3}{2}$