Notons $H_n$ l'hypothèse : " $\;(1+q)^n\geq 1+nq\;$ "
Lorsque $n=0$, on a : $(1+q)^n = 1$ et $1+nq = 1$ donc $H_0$ est vraie.
Soit $n\geq0$ un entier quelconque.
si $H_n$ est vraie pour cet entier alors :
$(1+q)^n\geq 1+nq$
or $(1+q)>1>0$ donc $(1+q)\times (1+q)^n\geq (1+nq)\times (1+q)$
donc $(1+q)^{n+1}\geq 1+nq+q+nq^2$
donc $(1+q)^{n+1}\geq 1+nq+q$
donc $(1+q)^{n+1}\geq 1+(n+1)q$
donc $H_{n+1}$ est vraie.
$H_0$ est vraie et pour tout $n\in I\!\!N$, si $H_n$ est vraie alors $H_{n+1}$ aussi
donc pour tout $n\in I\!\!N$, $\;\;H_n$ est vraie.
C'est à dire $n\in I\!\!N$, on a : $(1+q)^n\geq 1+nq$.