Le système à résoudre est le suivant :
$ \left\{\begin{matrix}5x & -y & +z & = & 3 \cr 10x & -2y & -z & = & 4 \cr x & +y & +z & = & 6 \end{matrix}\right. $

On élimine les x des lignes 2 et 3 :
$ \left\{\begin{matrix}5x & -y & +z & = & 3 \cr 10x & -2y & -z & = & 4 \cr x & +y & +z & = & 6 \end{matrix}\right. $ $ \begin{matrix} (\times 10 ) & 50x & -10y & +10z & = & 30 \cr (\times 5 ) & 50x & -10y & -5z & = & 20 \cr ~\end{matrix} $ $ \begin{matrix} (\times 1 ) & 5x & -y & +z & = & 3 \cr ~\cr (\times 5 ) & 5x & +5y & +5z & = & 30 \end{matrix} $

Résultat :
$ \left\{\begin{matrix}5x & -y & +z & = & 3 & L_1=\text{pivot}_1\cr & & -15z & = & -10 & L_2\leftarrow 5 L_2-10L_1\cr & 6y & +4z & = & 27 & L_3\leftarrow 5 L_3-L_1\end{matrix}\right. $

Résultat :
$ \left\{\begin{matrix}5x & -y & +z & = & 3 & \text{conservée}\cr & 6y & +4z & = & 27 & \text{conservée}\cr & & -15z & = & -10 & \text{déjà prête}\end{matrix}\right. $

C'est un système de Cramer : on calcule z, y, x.

$ \left\{\begin{matrix}5x & -y & +z & = & 3 \cr & 6y & +4z & = & 27 \cr & & z & = & \frac{2}{3} & \text{on a divisé par} -15\end{matrix}\right. $

On remplace y et z dans la ligne 1.
$ \left\{\begin{matrix}5x & -y & +z & = & 3 & \Lsh \text{on reporte}\cr & y & & = & \frac{73}{18} \cr & & z & = & \frac{2}{3} \end{matrix}\right. $

Solutions finales :
$ \left\{\begin{matrix}x & & & = & \frac{23}{18} \cr & y & & = & \frac{73}{18} \cr & & z & = & \frac{2}{3} \end{matrix}\right. $

$ \left\{\begin{matrix}5x & -y & +z & = & 3 \cr 10x & -2y & -z & = & 4 \cr x & +y & +z & = & 6 \end{matrix}\right. $ $ ~\quad $ a pour solution le triplet $ x = \frac{23}{18} ,\quad y = \frac{73}{18} ,\quad z = \frac{2}{3} $