| Calculs avec la définition récursive de l'énoncé: | Calculs en utilisant une avancée: | Calculs en utilisant une retardée: | Calculs avec la définition directe obtenue: |
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$ u(0)=10 $ $ u(1)= \dfrac{29}{3} \approx9.6667 $ $ u(2)= \dfrac{85}{9} \approx9.4444 $ $ u(3)= \dfrac{251}{27} \approx9.2963 $ $ u(4)= \dfrac{745}{81} \approx9.1975 $ $ u(5)= \dfrac{2219}{243} \approx9.1317 $ $ u(6)= \dfrac{6625}{729} \approx9.0878 $ $ u(7)= \dfrac{19811}{2187} \approx9.0585 $ $ u(8)= \dfrac{59305}{6561} \approx9.039 $ $ u(9)= \dfrac{177659}{19683} \approx9.026 $ $ u(10)= \dfrac{532465}{59049} \approx9.0173 $ $ u(11)= \dfrac{1596371}{177147} \approx9.0116 $ $ u(12)= \dfrac{4787065}{531441} \approx9.0077 $ $ u(13)= \dfrac{14357099}{1594323} \approx9.0051 $ $ u(14)= \dfrac{43063105}{4782969} \approx9.0034 $ |
On a : $ z\times \left( F(z)-10\right) = \dfrac{2}{3} F(z) + \dfrac{2}{3} \dfrac{z}{z-1}$ en utilisant la table des transformées en z usuelles. donc $ zF(z) = \dfrac{2}{3} F(z) +3\dfrac{z}{z-1}+10z$ en développant. donc $ (z-\frac{2}{3} )F(z) = 3\dfrac{z}{z-1}+10z$ en factorisant par $ F(z) $. donc $ F(z) = \dfrac{3z}{(z-1)(z-\frac{2}{3} )}+10\dfrac{z}{z-\frac{2}{3} } $ en isolant $ F(z) $. or $ G(z) = \dfrac{3}{(z-1)(z-\frac{2}{3} )} = \dfrac{A}{z-1} + \dfrac{B}{z-\frac{2}{3} }$ par décompositions en éléments simples. où $ A= \lim\limits_{z\to 1}(z-1)G(z) = \dfrac{3}{1-\frac{2}{3} } = A+0 $ donc $ A = 9 $ on multiplie, on simplifie, on calcule la limite. et $ B= \lim\limits_{z\to \frac{2}{3} }(z-\frac{2}{3} )G(z) = \dfrac{3}{ \frac{2}{3} -1} = 0+B $ donc $ B = -9 $ (idem) On a alors obtenu que $ G(z) = \dfrac{9}{z-1} + \dfrac{-9}{z-\frac{2}{3} }$ donc $ F(z) = 9\dfrac{z}{z-1}-9\dfrac{z}{z-\frac{2}{3} }+10\dfrac{z}{z-\frac{2}{3} } $ en remultipliant par $ z $ et en ajoutant le terme restant. donc $ F(z) = 9\dfrac{z}{z-1}+1\dfrac{z}{z-\frac{2}{3} } $ en rassemblant les termes identiques. donc $ y(n) = 9e(n)+1\left( \frac{2}{3} \right)^ne(n) $ en utilisant la table des transformées en z usuelles. $ \fbox{ $ \forall n\in\mathbb{N},~ y(n) = 9+1\left( \frac{2}{3} \right)^n $ } $ car sur $\mathbb{N} $ , on a $ e(n) = 1 $. |
$ U $ est une suite causale, redéfinissons $ U_n $ ainsi : $ U(n) = \dfrac{2}{3} U(n-1)+3+7\delta_0(n) $ pour quelle reste égale à $ 10 $ en 0. donc $ F(z) = \dfrac{2}{3} z^{-1} F(z) + \dfrac{2}{3} \dfrac{z}{z-1}+7$ en utilisant la table des transformées en z usuelles. donc $ zF(z) = \dfrac{2}{3} F(z) +3\dfrac{z^2}{z-1}+7z$ en multipliant tous les termes par $ z $. donc $ (z-\frac{2}{3} )F(z) = 3\dfrac{z^2}{z-1}+7z$ en factorisant par $ F(z) $. donc $ F(z) = \dfrac{3z^2}{(z-1)(z-\frac{2}{3} )}+7\dfrac{z}{z-\frac{2}{3} } $ en isolant $ F(z) $. or $ G(z) = \dfrac{3z}{(z-1)(z-\frac{2}{3} )} = \dfrac{A}{z-1} + \dfrac{B}{z-\frac{2}{3} }$ par décompositions en éléments simples. où $ A= \lim\limits_{z\to 1}(z-1)G(z) = \dfrac{3}{1-\frac{2}{3} } = A+0 $ donc $ A = 9 $ on multiplie, on simplifie, on calcule la limite. et $ B= \lim\limits_{z\to \frac{2}{3} }(z-\frac{2}{3} )G(z) = \dfrac{2}{ \frac{2}{3} -1} = 0+B $ donc $ B = -6 $ (idem) On a alors obtenu que $ G(z) = \dfrac{9}{z-1} + \dfrac{-6}{z-\frac{2}{3} }$ donc $ F(z) = 9\dfrac{z}{z-1}-6\dfrac{z}{z-\frac{2}{3} }+7\dfrac{z}{z-\frac{2}{3} } $ en remultipliant par $ z $ et en ajoutant le terme restant. donc $ F(z) = 9\dfrac{z}{z-1}+1\dfrac{z}{z-\frac{2}{3} } $ en rassemblant les termes identiques. donc $ y(n) = 9e(n)+1\left( \frac{2}{3} \right)^ne(n) $ en utilisant la table des transformées en z usuelles. $ \fbox{ $ \forall n\in\mathbb{N},~ y(n) = 9+1\left( \frac{2}{3} \right)^n $ } $ car sur $\mathbb{N} $ , on a $ e(n) = 1 $. |
Calculs avec la définition directe: $ u(0)=10 $ $ u(1)= \dfrac{29}{3} \approx9.6667 $ $ u(2)= \dfrac{85}{9} \approx9.4444 $ $ u(3)= \dfrac{251}{27} \approx9.2963 $ $ u(4)= \dfrac{745}{81} \approx9.1975 $ $ u(5)= \dfrac{2219}{243} \approx9.1317 $ $ u(6)= \dfrac{6625}{729} \approx9.0878 $ $ u(7)= \dfrac{19811}{2187} \approx9.0585 $ $ u(8)= \dfrac{59305}{6561} \approx9.039 $ $ u(9)= \dfrac{177659}{19683} \approx9.026 $ $ u(10)= \dfrac{532465}{59049} \approx9.0173 $ $ u(11)= \dfrac{1596371}{177147} \approx9.0116 $ $ u(12)= \dfrac{4787065}{531441} \approx9.0077 $ $ u(13)= \dfrac{14357099}{1594323} \approx9.0051 $ $ u(14)= \dfrac{43063105}{4782969} \approx9.0034 $ |