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% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################
\def\monnumero{ 3 }
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% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################

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\newcommand{\exo}{\bigskip  \stepcounter{nexo} \vskip 0.8cm \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{EXERCICE~\arabic{nexo}}}}}}}\quad}

\begin{document}%\everymath{\displaystyle}

\onehalfspacing

\exo Calculer le module et un argument de $z=\dfrac{-\sqrt{3}+i}{3+3i}$ puis de $z^2$

{\red $\bullet$ $|Z| = \dfrac{|-\sqrt{3}+i|}{|3+3i|} = \dfrac{\sqrt{3+1}}{\sqrt{9+9}} = \dfrac{2}{\sqrt{18}} = \dfrac{\sqrt{2}}{3}$
 par ailleurs $\arg(Z) = \arg(-\sqrt{3}+i)-\arg(3+3i)$

or 

$|-\sqrt{3}+i| = 2$ puis $\begin{cases}\cos\theta_1 = \frac{-\sqrt{3}}{2}\\ \sin\theta_1=\frac12\end{cases}$ donc le cercle trigonométrique donne $\arg(-\sqrt{3}+i) = \frac{5\pi}{6}$

et 

$|3+3i| = 3\sqrt{2}$ puis $\begin{cases}\cos\theta_2 = \frac{3}{3\sqrt{2}}= \frac{\sqrt{2}}{2}\\ \sin(\theta_2)=\frac{\sqrt{2}}{2}\end{cases}$ donc le cercle trigonométrique donne $\arg(3+3i) = \frac{\pi}{4}$

enfin $\arg(Z) = \arg(-\sqrt{3}+i)-\arg(3+3i) = \dfrac{5\pi}{6}-\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{7\pi}{12}$\medskip

On a donc obtenu que \fbox{$Z$ a pour module $\dfrac{\sqrt{2}}{3}$ et pour argument :  $\dfrac{7\pi}{12}$}

\vskip 0.5cm

$\bullet$ $|Z^2| = |Z|^2 = \dfrac29$ et $\arg(Z^2) = 2\times \arg(Z) = \dfrac{7\pi}{6}$ \quad ou, mieux, $\dfrac{-5\pi}{6}$

On a donc obtenu que \fbox{$Z^2$ a pour module $\dfrac{2}{9}$ et pour argument :  $\dfrac{-5\pi}{6}$}

}

\exo Montrer que $z^3+6z-20 = (z-2)(z^2+2z+10)$


{\red Pour tout $z\in\C$, on a : $(z-2)(z^2+2z+10) = z^3+2z^2+10z-2z^2-4z-20 = z^3+6z-20$}\vskip 0.5cm

En déduire toutes les solutions de $z^3+6z-20=0$

{\red $z^3+6z-20=0$ équivaut à $(z-2)(z^2+2z+10)=0$ ce qui équivaut à $z=2$ ou $z^2+2z+10=0$\medskip

Résolvons $z^2+2z+10=0$. On a $\Delta = 4-40=-36<0$ il y a deux racines complexes conjuguées, \medskip

$z_1 = \dfrac{-2-i\sqrt{+36}}{2\times 1} = -1-3i$ et $z_2 = -1+3i$\bigskip

Finalement  $z^3+6z-20=0$ a pour solutions \fbox{$S=\Big\{2~;~-1-3i~;~-1+3i\Big\}$}

}

\exo 


\begin{enumerate}
	
	\item Montrer que $f(x) = \dfrac{1}{1-j\frac1x}$.
	
	{\red $f(x) = T(\omega) = \dfrac{jL\omega }{R+jL\omega } = \dfrac{1}{\frac{R}{jL\omega }+1 } $ en divisant numérateur et dénominateur par $jL\omega$
	
	Or 	$\omega_0 = \dfrac{R}{L}$ 	donc $\dfrac{R}{jL\omega } = \dfrac{R}{L}\times\dfrac{1}{j\omega} = \omega_0\times \dfrac{1}{j\omega} = -j\dfrac{\omega_0}{\omega}=-j\dfrac1x$  car $\dfrac{1}{j}=\dfrac{j}{j^2}=-j$  et $x=\dfrac{\omega}{\omega_0}$\bigskip
	
	Finalement : $f(x) = \dfrac{1}{1-j\frac1x}$
	
	}
	
	\item En expliquant, calculer  arg$\Big(f(1)\Big)$.
	
	{\red arg$\Big(f(1)\Big) = \arg \dfrac{1}{1-j}  =\arg\dfrac{1+j}{2} = \arg(1+j)-0$ 
	
	or $|1+j|=\sqrt{2}$ donc $\begin{cases}\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}= \frac{\sqrt{2}}{2}\\ \sin(\theta)=\frac{\sqrt{2}}{2}\end{cases}$ donc le cercle trigonométrique donne $\arg(1+i) = \frac{\pi}{4}$
	
	Finalement : \fbox{arg$\Big(f(1)\Big) = \dfrac{\pi}{4}$}
	}
	
		
	\item Par ailleurs, on note $G(x) = 20\log \Big|f(x)\Big|$ le gain du système.
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Montrer que $G(x) = -\dfrac{10}{\ln(10)} \ln \left(1+\frac{1}{x^2}\right)$.
		
		{\red $G(x) = 20\log \Big|f(x)\Big| = 20\times\dfrac{1}{\ln(10)}\times \ln\Big|f(x)\Big| =\dfrac{20}{\ln{10}}\times \ln\left|\dfrac{1}{1-j\frac1x}\right|  = \dfrac{20}{\ln{10}}\times \ln\dfrac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}} $
		
		puis  $G(x)  = -\dfrac{20}{\ln{10}}\times \ln\sqrt{1+\frac{1}{x^2}} = -\dfrac{20}{\ln{10}}\times\dfrac12\times  \ln\left(1+\frac{1}{x^2}\right) =-\dfrac{10}{\ln(10)} \ln \left(1+\frac{1}{x^2}\right)$
		
		}
		
		
		\item Calculer $\lim\limits_{x\to0_+} G(x)$ et $\lim\limits_{x\to+\infty} G(x)$.
		
		{\red $\bullet$ $\lim\limits_{x\to0_+} \frac1{x^2} = +\infty$ donc $\lim\limits_{x\to0_+}\left(1+\frac{1}{x^2}\right)=+\infty$ 
			
			
		\hskip 3cm donc $\lim\limits_{x\to0_+}\ln\left(1+\frac{1}{x^2}\right)=+\infty$\quad or $-\dfrac{10}{\ln(10)}<0$ 
		
		\hskip 3cm donc  $\lim\limits_{x\to0_+} -\dfrac{10}{\ln(10)} \ln \left(1+\frac{1}{x^2}\right)=-\infty$ c'est à dire  \fbox{$\lim\limits_{x\to0_+} G(x)= -\infty$}\bigskip
		
		$\bullet$ $\lim\limits_{x\to+\infty} \frac1{x^2} = 0$ donc $\lim\limits_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x^2}\right)=1$ 
		
		
		\hskip 3cm donc $\lim\limits_{x\to+\infty}\ln\left(1+\frac{1}{x^2}\right)=0$
		
		\hskip 3cm donc  $\lim\limits_{x\to+\infty} -\dfrac{10}{\ln(10)} \ln \left(1+\frac{1}{x^2}\right)$ c'est à dire  \fbox{$\lim\limits_{x\to+\infty} G(x)= 0$}
		
		}
		
		\vskip 0.5cm 
		
		\item Le tableau de variation de la fonction $G$.
		
		{\red Le logiciel nous donne pour tout $x>0$,\; $G'(x) = \dfrac{20}{x(1+x^2)\ln(10)}$ or tous les facteurs\medskip 
			
			 sont positifs, donc la dérivée est strictement positive, la fonction $G$ est donc strictement croissante sur $]0;+\infty[$
		
		\hfil\begin{tabular}{clcr}
			$x$     & $0$ & &$+\infty$\cr\hline
			$G'(x)$ &$\Arrowvert$& $+$ &\cr\hline
			$G$ &$\Arrowvert$& $\nearrow$
		\end{tabular}
		
		}
	\end{enumerate}
	
	\goodbreak
	
	\item Un grapheur nous donne la courbe représentant $G$ pour $x$ variant de 0,05 à 3,45.
	
	\psset{xunit=4.0cm,yunit=0.8cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
	\begin{pspicture*}(-0.4,-4.5)(3.5,0.8)
		\multips(0,-6)(0,1.0){8}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(-0.13158037996884997,0)(3.4469820728717018,0)}
		\multips(0,0)(0.2,0){18}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,-6.484549558555982)(0,0.7880128456038513)}
		\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=0.2,Dy=1.,ticksize=+2pt 0,subticks=2,tickstyle=top,showorigin=false]{->}(0,0)(-0.13158037996884997,-6.484549558555982)(3.4469820728717018,0.7880128456038513)
		\psplot[linewidth=1.pt,linecolor=blue,plotpoints=200]{0.01}{3.4469820728717018}{-10.0/ln(10.0)*ln(1.0+1/x^(2.0))}
		\psline[linecolor=red,linewidth=2pt]{->}(0,-3)(1,-3)(1,0)
		\psline[linecolor=red,linewidth=1.5pt]{->}(1.6,0.5)(1,0.5)
		\psline[linecolor=red,linewidth=1.5pt]{->}(2.35,0.5)(3.5,0.5)
		\begin{scriptsize}
			\rput[bl](3.42,0.3){\black{$x$}}
			\rput[bl](-0.3,0.4){\black{$G$} en dB}
		\end{scriptsize}
		\rput(2,0.5){\red bande passante}
	\end{pspicture*}
	
	{\red Le gain est supérieur à -3 pour tous les $x>1$, c'est à dire les $\frac{\omega}{\omega_0}>1$ c'est à dire $\omega>\omega_0$, c'est à dire pour les fréquences supérieures à $2\pi\omega_0$. C'est un filtre passe-haut.}
	
\end{enumerate}

\exo 

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item Donner la valeur arrondie, au degré Celsius, de la température de l'eau du spa $22$~heures après la coupure de l'alimentation électrique.
	
	{\red On lit une température environ égale à 29,5 degrés Celsius}
	
	\item La température de l'eau du spa descend-elle en-dessous de $27~\degres$ C ?
	
	Si oui, combien de temps après la coupure de l'alimentation électrique ?
	
	{\red La courbe descend en dessous de la droite horizontale correspondant à 27° environ 36h après l'arrêt du chauffage. }
	
	
	\item On admet que la vitesse instantanée de variation de la température de l'eau du spa, exprimée en degrés Celsius par heure (\degres C/h), à un temps donné $t_0$, est le coefficient directeur de la tangente à la courbe $C$ au point d'abscisse $t_0$.
	
	Pour chacune des deux propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier chaque réponse.
	\begin{enumerate}
		\item Proposition A : {\red Non le graphe n'est pas une droite donc la température ne descend régulièrement d'un degré toutes les heure.}
		
		\item Proposition B : {\red non la variation instantanée, qui correspond à la pente de la tangente n'est pas de -1°/h } \fg
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On admet que, pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$,
\[f(t) = 13\text{e}^{-0,05t} +25.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
	\item Calculer la valeur arrondie à $10^{-1}$ de $f(24)$.
	
	Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
	
	{\red On a $f(24)\approx 28,9$, cela signifie qu'après 24h la température du spa est d'environ 28,9 degrés Celcius.}
	
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$, déterminer une expression de $f'(t)$.
		
		{\red Pour tout $t\in[0;+\infty[$, on a : $f'(t) = 13\times (-0,05)\times e^{-0,05 t} = -0,65\times e^{-0,05 t}$ }
		
		\item En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$.
		
		{\red Pour tout $t\in[0;+\infty[$, $f'(t)<0$ car $-0,65<0$ et $e^{-0,05t}>0$ donc $f$ est strictement décroissante sur $[0;+\infty[$.}
		
		Ce sens de variation parait-il cohérent avec le contexte de l'exercice ?
		
		{\red Ceci est cohérent avec le contexte car le spa refroidi.}
		
		
	\end{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.
		
		{\red On a $\lim\limits_{t\to+\infty} e^{-0,05t} = 0$ donc $\lim\limits_{t\to+\infty}f(t )= 0+25 = 25$}
		
		\item Interpréter la valeur de cette limite dans le contexte de l'exercice.
		
		{\red Si on laisse le spa refroidir indéfiniment alors il prendra la température ambiante de 25°C}
	\end{enumerate}
	\item  Une alarme sonore est émise quand la température de l'eau du spa devient strictement inférieure
	à une température programmée par l'utilisateur.  L'utilisateur programme la température de l'eau du spa à $36$~\degres C.
	
	Déterminer, par le calcul, combien de temps après la coupure de l'alimentation électrique cette alarme sonore retentira.
	
	{\red On résout : $f(t)<36$ cela équivaut à $13e^{-0,05t}+25 <36$ 
		
								donc à $13e^{-0,05t}<11$
									
								puis à $e^{-0,05t}<\frac{11}{13}$
		
								puis à $-0,05t<\ln\frac{11}{13}$ car $\ln$ est une fonction strictement croissante sur $]0;+\infty[$
								
								et enfin à $t>\dfrac{1}{-0,05}\times \ln\frac{11}{13}$ c'est à dire $t>3,34$h environ
								
		L'alarme va retentir à partir de 3h20min environ.
		}
	
\end{enumerate}

\end{document}
