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\setdefaultenum {1.}{a)}{}{}
\hyphenpenalty 10000 % empèche la coupure de mots
\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx

\newcommand{\R}{\mathds {R}}
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\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
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\def\ds{\displaystyle }
\def\tvi{\vrule height 20pt depth 20pt width 0pt }

\DecimalMathComma

% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################
\def\monnumero{ 3 }
\def\madate{ Janvier 2026}
% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################

% en-tete
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée Schuman Perret.\\ \madate.}}} %gauche
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\newcommand{\exo}{\bigskip  \stepcounter{nexo} \vskip 0.8cm \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{EXERCICE~\arabic{nexo}}}}}}}\quad}

\begin{document}%\everymath{\displaystyle}

\onehalfspacing

Rappels : présentation soignée, exercices clairement séparés, résultats encadrés, tableaux à la règle et au crayon.

\vskip -1cm

\exo Calculer le module et un argument de $z=\dfrac{-\sqrt{3}+i}{3+3i}$ puis de $z^2$

\exo Montrer que $z^3+6z-20 = (z-2)(z^2+2z+10)$

En déduire toutes les solutions de $z^3+6z-20=0$

\exo 

\begin{minipage}{12cm}
	
	Le quadripole ci-contre est caractérisé par une fonction de transfert $T(\omega) = \dfrac{\underline{v}\,_s}{\underline{v}\,_e} = \dfrac{jL\omega }{R+jL\omega }$.
	\qquad
	où $\omega$ est la pulsation de ${\underline{v}\,_e}$.
	
\end{minipage}
\begin{minipage}{8cm}
	
	
	\begin{circuitikz}
		%%dessin d?un point noir pour marquer le point origine
		\draw (0,0)node[circ]{};\draw (3,0)node[circ]{};
		\draw (0,2)node[circ]{};\draw (3,2)node[circ]{};
		%%placement des résistances
		\draw (0,2)to[R,l_=$R$](2,2)to(3,2);
		\draw (0,0)to(3,0);
		\draw (2,2)to[L,l_=$L$](2,0);
		\draw[dashed](0.2,-0.2)--(0.2,2.5)--(2.8,2.5)--(2.8,-0.2)--(0.2,-0.2);
		\draw[-triangle 45] (3.2,0) -- (3.2,2) node[right, midway] {$\underline{v}\,_s$};
		\draw[-triangle 45] (-0.2,0) -- (-0.2,2) node[left, midway] {$\underline{v}\,_e$};
	\end{circuitikz}
	
\end{minipage}

On note $\omega_0 = \dfrac{R}{L}$,\qquad $x=\dfrac{\omega}{\omega_0}$\qquad et\qquad $T(\omega) = f(x)$.

\begin{enumerate}
	
	\item Montrer que $f(x) = \dfrac{1}{1-j\frac1x}$.
	
	\item En expliquant, calculer  arg$\Big(f(1)\Big)$.
		
	\item Par ailleurs, on note $G(x) = 20\log \Big|f(x)\Big|$ le gain du système.
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Montrer que $G(x) = -\dfrac{10}{\ln(10)} \ln \left(1+\frac{1}{x^2}\right)$.
		
		\item Calculer $\lim\limits_{x\to0_+} G(x)$ et $\lim\limits_{x\to+\infty} G(x)$.
		
		\item Un logiciel de calcul formel donne :
		
		\fcolorbox{black}{yellow}{\begin{minipage}{12cm}
				
				\%e1\quad $\rightarrow$ dérive (-10/ln 10 *ln ( 1+ 1 /x${}^2$ ))
				
				\%s1\quad $\rightarrow$  20 / ( x * ( x ${}^2$ + 1 ) * ln(10) )
				
		\end{minipage}}
		
		En déduire le tableau de variation de la fonction $G$.
		
	\end{enumerate}
	
	\item Un grapheur nous donne la courbe représentant $G$ pour $x$ variant de 0,05 à 3,45.
	
	\psset{xunit=4.0cm,yunit=0.8cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
	\begin{pspicture*}(-0.4,-6.5)(3.5,0.8)
		\multips(0,-6)(0,1.0){8}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(-0.13158037996884997,0)(3.4469820728717018,0)}
		\multips(0,0)(0.2,0){18}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,-6.484549558555982)(0,0.7880128456038513)}
		\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=0.2,Dy=1.,ticksize=+2pt 0,subticks=2,tickstyle=top,showorigin=false]{->}(0,0)(-0.13158037996884997,-6.484549558555982)(3.4469820728717018,0.7880128456038513)
		\psplot[linewidth=1.pt,linecolor=blue,plotpoints=200]{0.01}{3.4469820728717018}{-10.0/ln(10.0)*ln(1.0+1/x^(2.0))}
		\begin{scriptsize}
			\rput[bl](3.42,0.3){\black{$x$}}
			\rput[bl](-0.3,0.4){\black{$G$} en dB}
		\end{scriptsize}
	\end{pspicture*}
	
	On appelle bande passante les fréquences pour lesquelles $G(x)>-3dB$. Déterminer graphiquement les valeurs de $x$ puis de $\omega$ pour lesquelles le gain est supérieur à $-3dB$. En déduire le bande passante. Le dispositif électronique étudié est-il un filtre passe bas ou un filtre passe haut ? 
	
\end{enumerate}

\exo \emph{Les deux parties de l'exercice peuvent être traitées indépendamment}

\medskip

Afin de vérifier la bonne isolation thermique d'un spa, on porte la température de l'eau, du spa à 38~\degres C puis on coupe l'alimentation électrique du spa qui sert à chauffer l'eau.

On s'intéresse à l'évolution de cette température en fonction du temps écoulé à partir de cette coupure.

La température de l'eau du spa est modélisée par une fonction $f$ qui, à tout temps $t$ (en heures) écoulé depuis la coupure de l'alimentation électrique, associe la température $f(t)$, en degré Celsius (\degres C), de l'eau du spa au temps $t$. On admet que $f(0) = 38$.

Lors de cette vérification, la température ambiante extérieure au spa reste constante et égale à 25~\degres C. On remarque que la température de l'eau du spa est de $37$~\degres C au bout de $1,5$~h.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Ci-dessous \textbf{à rendre avec la copie}, on a tracé la représentation graphique $C$ de la fonction $f$ dans un repère orthogonal. On utilisera cette représentation graphique pour répondre aux questions de cette partie.

\medskip

\psset{unit=0.2cm}
\def\xmin {-3}  \def\xmax {60}
\def\ymin {-3}   \def\ymax {50}
\hfil
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
	\psgrid[unit=1cm,subgriddiv=5,gridlabels=0, gridcolor=gray, subgridcolor=lightgray] (0,0)(-1,-1)(12,10)
	\psaxes[arrowsize=2pt 2, ticksize=0pt 0pt, Dx=5,Dy=5,showorigin=false]{->}(0,0)(-4.99,-4.99)(\xmax,\ymax) 
	\uput[dl](0,0){0}
	\def\f{13 2.7183 -0.05 x mul exp mul 25 add}% définition de la fonction
	\psplot[plotpoints=1000]{0}{56}{\f}
	\uput[r](0,47){\boldmath $f(t)$} \uput[d](59,0){\boldmath $t$} \uput[ur](5,35){\boldmath{$C$}} 
\end{pspicture*}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item Donner la valeur arrondie, au degré Celsius, de la température de l'eau du spa $22$~heures après la coupure de l'alimentation électrique.
	
	Faire apparaitre les traits de construction correspondants sur le graphique de l'annexe.
	

	\item La température de l'eau du spa descend-elle en-dessous de $27~\degres$ C ?
	
	Si oui, combien de temps après la coupure de l'alimentation électrique ?
	
	Faire apparaitre les traits de construction correspondants sur le graphique de l'annexe.
	\item On admet que la vitesse instantanée de variation de la température de l'eau du spa, exprimée en degrés Celsius par heure (\degres C/h), à un temps donné $t_0$, est le coefficient directeur de la tangente à la courbe $C$ au point d'abscisse $t_0$.
	
	Pour chacune des deux propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier chaque réponse.
	\begin{enumerate}
		\item Proposition A :
		\og toutes les heures, la température de l'eau du spa baisse du même nombre de degrés Celsius.\fg
		\item Proposition B : \og la vitesse instantanée de variation de la température de l'eau du spa au temps $t_0 = 15$~h est environ égale à $-1~\degres$ C/h. \fg
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On admet que, pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$,
\[f(t) = 13\text{e}^{-0,05t} +25.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
	\item Calculer la valeur arrondie à $10^{-1}$ de $f(24)$.
	
	Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$, déterminer une expression de $f'(t)$.
		\item En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$.
		
		Ce sens de variation parait-il cohérent avec le contexte de l'exercice ?
		
		Argumenter.
	\end{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.
		\item Interpréter la valeur de cette limite dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
	\item  Une alarme sonore est émise quand la température de l'eau du spa devient strictement inférieure
	à une température programmée par l'utilisateur.  L'utilisateur programme la température de l'eau du spa à $36$~\degres C.
	
	Déterminer, par le calcul, combien de temps après la coupure de l'alimentation électrique cette alarme sonore retentira.
\end{enumerate}

\end{document}
