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\setdefaultenum {1.}{a)}{}{}
\hyphenpenalty 10000 % empèche la coupure de mots
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\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
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{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}

\newcommand{\e}{\,\text{e}}%%%               le e de l'exponentielle
\renewcommand{\d}{\,\text d}%%%              le d de l'intégration
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\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\def\tvi{\vrule height 20pt depth 20pt width 0pt }
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\DecimalMathComma

% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################
\def\monnumero{ 3bis }
\def\madate{ Janvier 2026}
% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################

% en-tete
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée Schuman Perret.\\ \madate.}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{Contrôle 3}}}}} %centre
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\newcommand{\exo}{\bigskip  \stepcounter{nexo} \vskip 0.8cm \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{EXERCICE~\arabic{nexo}}}}}}}\quad}

\begin{document}%\everymath{\displaystyle}

\onehalfspacing


\exo Module et argument de $z=\dfrac{-2+2i}{\sqrt{3}-i}$ puis de $z^3$

{\red $|z| = \dfrac{|-2+2i|}{|\sqrt{3}-i|} = \dfrac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$

puis 

pour le numérateur $\cos\theta_1 = \dfrac{-\sqrt{2}}{2}$ et $\sin\theta_1 = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ donc $\theta_1=\dfrac{3\pi}{4}$

pour le dénominateur $\cos\theta_2 = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin\theta_2 = \dfrac{-1}{2}$ donc $\theta_2=\dfrac{-\pi}{6}$

donc $\arg(z) = \dfrac{3\pi}{4}+\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{11\pi}{12}$

\bigskip

$|z^3| = (\sqrt{2})^3 = 2\sqrt{2}$\quad et \quad $\arg(z^3) = 3\arg(z) = \dfrac{11\pi}{4}$

}


\exo Développer et réduire $(z^2-1)(z^2+4)$

{\red $(z^2-1)(z^2+4) = z^4+3z^2-4$}

En déduire toutes les solutions dans $\C$ de $z^5+3z^3-4z=0$

{\red $z^5+3z^3-4z=0$ ssi $z\times(z^4+3z^2-4)=0$ ssi $z=0$ ou $(z^4+3z^2-4)=0$
	
	\hskip 3cm ssi $z\times(Z^2+3Z-4)=0$ en posant $Z=z^2$ 
	
	On reconnait alors une équation du second degré $\Delta = 25>0$ donc $Z=1$ ou $Z=-4$
	
	donc $z^2=1$ ou $z^2=-4$ \qquad 	donc $z=1$ ou $z-1$ ou $z=-2i$ ou $z=2i$
	
	Finalement les solutions sont $0,~-1,~1,~-2i$~ et~$2i$

}

\exo 

\begin{enumerate}
	
	\item Montrer que $f(x) = \dfrac{1}{1+jx}$.
	
	{\red $f(x) = T(\omega) = \dfrac{R}{R+jL\omega } = \dfrac{1}{1+j\frac{L}{R}\omega }=\dfrac{1}{1+jx}$}
	
	\item En expliquant, calculer  arg$\Big(f(1)\Big)$.
	
	{\red $f(1) = \dfrac{1}{1+j}$ donc $\arg f(1) = -\arg(1+j) = -\dfrac{\pi}{4}$}
		
	\item Par ailleurs, on note $G(x) = 20\log \Big|f(x)\Big|$ le gain du système.
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Montrer que $G(x) = -\dfrac{10}{\ln(10)} \ln \left(1+x^2\right)$.
		
		{\red $G(x) = 20\log \Big|f(x)\Big| = 20\log \left|\dfrac{1}{1+jx}\right| = \dfrac{20}{\ln{10}}\ln\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}$
			
		\hskip 2cm $ = \dfrac{20}{\ln{10}}\times(-1)\times \dfrac12\ln(1+x^2) = -\dfrac{10}{\ln{10}}\ln(1+x^2)$ }
		
		\item Calculer $\lim\limits_{x\to0_+} G(x)$ et $\lim\limits_{x\to+\infty} G(x)$.
		
		{\red $\lim\limits_{x\to0_+}\ln(1+x^2) = 0$ donc $\lim\limits_{x\to0_+}G(x) = 0$
		
		$\lim\limits_{x\to+\infty}\ln(1+x^2) = +\infty$ et  $-\dfrac{10}{\ln{10}}<0$ donc $\lim\limits_{x\to+\infty} G(x) = -\infty$
		
		}
		
		\item \'Etablir le tableau de variation de la fonction $G$.
		
		{\red Pour tout $x>0$, on a: $G'(x) = -\dfrac{10}{\ln(10)} \dfrac{2x}{1+x^2}<0$ donc $G$ est une fonction srictement décroissante sur $\R^+_*$
		
		\hfil \begin{tabular}{c|clcr}
			$x$      & 0 &          &$+\infty$\\\hline
			$G'(x)$  &   &    $-$   &\\\hline
			$G(x)$   &${}^0$   &$\searrow$&${}_{-\infty}$\\\hline
		\end{tabular}
		
		}
		
	\end{enumerate}
	
	\item Nature du filtre.
	
	{\red $G(x)=-3$ ssi $-\dfrac{10}{\ln(10)} \ln \left(1+x^2\right) = -3$
	
	\hskip 1cm ssi $ \ln \left(1+x^2\right) = \dfrac{3\ln(10)}{10}$
	
	\hskip 1cm ssi $ 1+x^2 = exp\left(\dfrac{3\ln(10)}{10}\right)$
	
	\hskip 1cm ssi $ x^2 = exp\left(\dfrac{3\ln(10)}{10}\right)-1$
	
	\hskip 1cm ssi $ x = \sqrt{exp\left(\dfrac{3\ln(10)}{10}\right)-1}$
	
	La calculatrice nous donne $x\approx 0,998$, presque 1
	
	Par ailleurs, $G$ est strictement décroissante donc $G(x)>-3$ pour $x<1$. 
	
	Pour que le gain reste supérieur à -3 il faut que $x<1$, c'est à dire $\frac{\omega}{\omega_0}<1$ 
	
	donc $\omega<\omega_0$. C'est un filtre passe bas.
	}
	
\end{enumerate}

\exo 

\textbf{Partie A - Lecture graphique}

\begin{enumerate}
	
	\item {\red La teneur en humidité d'une poutre après 20 semaines de séchage est de $42\;\%$.}
	
	\item {\red Ces poutres sont vendues une fois que leur teneur en humidité est inférieure à 20 \%.\\ 
	Ces poutres peuvent elles être vendues au bout de 49 semaines.}
	
\end{enumerate}


\textbf{Partie B - Teneur en humidité}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item {\red D'après la ligne 4 du tableau, la limite de $f$ lorsque $t$ tend vers $+\infty$ est égale à $0,1$.
		
		%Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
		
		Si le temps de séchage augmente indéfiniment, il restera un taux d'humidité de $10\;\%$ dans la poutre.}
		
		\item{\red  À l'aide du contexte, on peut conjecturer que la fonction $f$ est strictement décroissante sur $[0\;;\;+\infty[$.}
		
		\item {\red %Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0\;;\;+\infty[$.
		D'après la ligne 2 du tableau, $f'(t)=-0,028\e^{-0,04t}$.
		
		Or, pour tout réel $x$, on a: $\e^{x}>0$ donc, pour tout $t$ de $[0\;;\;+\infty[$, on a: $\e^{-0,04t}>0$ et donc $f(t)<0$.
		
		La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur $[0\;;\;+\infty[$.}
	\end{enumerate}
	
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item {\red On résout pour $t$ appartenant à $[0\;;\;+\infty[$  l'inéquation: $f(t) \leqslant 0,2$.
		
		$f(t) \leqslant 0,2
		\iff
		0,7\e^{-0,04t}+0,1 \leqslant 0,2		
		\iff
		0,7\e^{-0,04t} \leqslant 0,1
		\iff
		\e^{-0,04t} \leqslant \dfrac{0,1}{0,7}\\
		\phantom{f(t) \leqslant 0,2}
		\iff
		-0,04t \leqslant \ln\left (\dfrac{1}{7}\right )
		\iff
		t \geqslant - \dfrac{\ln\left (\frac{1}{7}\right )}{0,04}$
		
		%Arrondir le résultat à l'unité.
		Or $- \dfrac{\ln\left (\frac{1}{7}\right )}{0,04}\approx 48,65$ donc $t\geqslant 49$.}
		
		\item {\red %Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
		Il faut donc un temps de séchage d'au moins 49 semaines pour que la teneur en humidité soit inférieure à 20\;\%.	}	
		
		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}
