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\setdefaultenum {1.}{a)}{}{}
\hyphenpenalty 10000 % empèche la coupure de mots
\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx

\newcommand{\R}{\mathds {R}}
\newcommand{\N}{\mathds {N}}
\newcommand{\C}{\mathds {C}}

\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}

\newcommand{\e}{\,\text{e}}%%%               le e de l'exponentielle
\renewcommand{\d}{\,\text d}%%%              le d de l'intégration
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\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\def\tvi{\vrule height 20pt depth 20pt width 0pt }

\DecimalMathComma

% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################
\def\monnumero{ 3 }
\def\madate{ Janvier 2026}
% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################

% en-tete
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée Schuman Perret.\\ \madate.}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{Contrôle 3}}}}} %centre
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%pied de page
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\newcommand{\exo}{\bigskip  \stepcounter{nexo} \vskip 0.8cm \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{EXERCICE~\arabic{nexo}}}}}}}\quad}

\begin{document}%\everymath{\displaystyle}

\onehalfspacing

Rappels : présentation soignée, exercices clairement séparés, résultats encadrés, tableaux à la règle et au crayon.

\vskip -1cm

\exo Calculer le module et un argument de $z=\dfrac{-2+2i}{\sqrt{3}-i}$ puis de $z^3$

\exo Développer et réduire $(z^2-1)(z^2+4)$

En déduire toutes les solutions dans $\C$ de $z^5+3z^3-4z=0$

\exo 

\begin{minipage}{12cm}
	
	Le quadripole ci-contre est caractérisé par une fonction de transfert $T(\omega) = \dfrac{\underline{v}\,_s}{\underline{v}\,_e} = \dfrac{R}{R+jL\omega }$.
	\qquad
	où $\omega$ est la pulsation de ${\underline{v}\,_e}$.
	
\end{minipage}
\begin{minipage}{8cm}
	
	
	\begin{circuitikz}
		%%dessin d?un point noir pour marquer le point origine
		\draw (0,0)node[circ]{};\draw (3,0)node[circ]{};
		\draw (0,2)node[circ]{};\draw (3,2)node[circ]{};
		%%placement des résistances
		\draw (0,2)to[L,l_=$L$](2,2)to(3,2);
		\draw (0,0)to(3,0);
		\draw (2,2)to[R,l_=$R$](2,0);
		\draw[dashed](0.2,-0.2)--(0.2,2.5)--(2.8,2.5)--(2.8,-0.2)--(0.2,-0.2);
		\draw[-triangle 45] (3.2,0) -- (3.2,2) node[right, midway] {$\underline{v}\,_s$};
		\draw[-triangle 45] (-0.2,0) -- (-0.2,2) node[left, midway] {$\underline{v}\,_e$};
	\end{circuitikz}
	
\end{minipage}

On note $\omega_0 = \dfrac{R}{L}$,\qquad $x=\dfrac{\omega}{\omega_0}$\qquad et\qquad $T(\omega) = f(x)$.

\begin{enumerate}
	
	\item Montrer que $f(x) = \dfrac{1}{1+jx}$.
	
	\item En expliquant, calculer  arg$\Big(f(1)\Big)$.
		
	\item Par ailleurs, on note $G(x) = 20\log \Big|f(x)\Big|$ le gain du système.
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Montrer que $G(x) = -\dfrac{10}{\ln(10)} \ln \left(1+x^2\right)$.
		
		\item Calculer $\lim\limits_{x\to0_+} G(x)$ et $\lim\limits_{x\to+\infty} G(x)$.
		
		\item \'Etablir le tableau de variation de la fonction $G$.
		
	\end{enumerate}
	
	\item Un grapheur nous donne la courbe représentant $G$ pour $x$ variant de 0,05 à 1,87.
	
	\psset{xunit=4.0cm,yunit=0.8cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
	\hfil\begin{pspicture*}(-0.4,-6.5)(2,0.8)
		\multips(0,-6)(0,1.0){8}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(-0.13158037996884997,0)(3.4469820728717018,0)}
		\multips(0,0)(0.2,0){18}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,-6.484549558555982)(0,0.7880128456038513)}
		\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=0.2,Dy=1.,ticksize=+2pt 0,subticks=2,tickstyle=top,showorigin=false]{->}(0,0)(-0.13158037996884997,-6.484549558555982)(1.99,0.7880128456038513)
		\psplot[linewidth=1.pt,linecolor=blue,plotpoints=200]{0.01}{1.85}{-10.0/ln(10.0)*ln(1.0+x^2)}
		\begin{scriptsize}
			\rput[bl](3.42,0.3){\black{$x$}}
			\rput[bl](-0.3,0.4){\black{$G$} en dB}
		\end{scriptsize}
	\end{pspicture*}
	
	On appelle bande passante les fréquences pour lesquelles $G(x)>-3dB$. Déterminer {\bf par le calcul} les valeurs de $x$ puis de $\omega$ pour lesquelles le gain est supérieur à $-3dB$. En déduire le bande passante. Le dispositif électronique étudié est-il un filtre passe bas ou un filtre passe haut ? 
	
\end{enumerate}

\exo 

\begin{minipage}{0.45\linewidth}
Le bois d'épicéa est couramment utilisé en France pour la construction. \\
Avant son utilisation, il est nécessaire de le faire sécher. \\
La teneur en humidité du bois d'épicéa correspond au pourcentage d'eau contenu dans le bois.\\

\end{minipage}
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\begin{center}
	\begin{pspicture}*(-1.5,-1)(10,4.5)
		\psline(0,0)(1,0)(1,1)(0,1)(0,0)
		\psline(1,0)(7,3)
		\psline(1,1)(7,4)
		\psline(0,1)(6,4)
		\psline(7,3)(7,4)(6,4)
		\psline{<->}(0,-0.2)(1,-0.2)
		\rput[t](0.5,-0.3){$5$ \ cm}
		\psline{<->}(-0.2,0)(-0.2,1)
		\rput[r](-0.3,0.5){$5$ \ cm}
		\psline{<->}(1.3,0)(7.3,3)
		\rput[l](4.6,1.5){$4$ \ m}
		\psset{linestyle=dashed}
		\psline(0,0)(6,3)
		\psline(6,4)(6,3)(7,3)
	\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

\medskip

\textbf{Partie A - Lecture graphique}

On considère ici des poutres d'épicéa ayant la forme d'un pavé droit de longueur 4~m et dont la base est un carré de côté 5~cm.

On admet que  la fonction représentée ci-dessous est la fonction  $f$ qui exprime la teneur en humidité   du bois d'épicéa, en pourcentage, en fonction du temps $t$, exprimé en semaine.

\begin{center}
	\psset{unit=1mm,arrowsize=2pt 3}
	\begin{pspicture}*(-10,-10)(80,90)
		\psgrid[unit=1cm,subgriddiv=5, gridlabels=0,gridcolor=gray,subgridcolor=lightgray](-1,-1)(8,9)
		\psaxes[labels=none,ticksize=0pt 0pt,linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(-10,-10)(80,90)
		\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.2pt,linecolor=blue]{0}{80}{10 70 2.718 -0.04 x mul exp mul add}
		\uput[d](10,0){10} \uput[l](0,10){10} \uput[dl](0,0){0} 
		\uput[dl](80,0){$t$}
		\rput(60,5){Temps en semaine}
		\rput[l](5,85){Teneur en humidité (\%)}
	\end{pspicture}
\end{center}

\goodbreak

Répondre aux questions suivantes, avec la précision permise par le graphique:

\begin{enumerate}
	
	\item Quelle est la teneur en humidité d'une poutre après 20 semaines de séchage ?
	\item Ces poutres sont vendues une fois que leur teneur en humidité est inférieure à 20 \%.\\ 
	Au bout de combien de temps, ces poutres peuvent elles être vendues ?
\end{enumerate}

\goodbreak

\textbf{Partie B - Teneur en humidité}

\medskip

Dans cette partie, on admet que l'expression de la fonction  $f$ définie sur $[0\;;\; +\infty[$  représentant la teneur en humidité, en pourcentage,  du bois d'épicéa en fonction du temps $t$, exprimé en semaine, est:

\[f(t)=0,7 \e^{-0,04 t} + 0,1\]

À l'aide d'un logiciel de calcul formel, on a obtenu la capture d'écran suivante:

\begin{center}
	\begin{tabular}{|c | m{7cm}|}
		\multicolumn{2}{|l|}{$\blacktriangleright$ Calcul formel\hfill$\boxtimes$}\\
		\hline
		~~1~~ & \texttt{f(t) := 0.7 exp(-0.04t) + 0.1}\rule[-7pt]{0pt}{0pt}\newline $\approx~ \text{f(t) := }0.7 \e^{-0.04t} + 0.1$\\
		\hline
		2 & \texttt{Dérivée[f]} \rule[-7pt]{0pt}{0pt}\newline $\approx~ -0.028 \e^{-0.04t}$\\
		\hline
		3 & \texttt{Limite[f , $+\infty$]} \rule[-7pt]{0pt}{0pt}\newline $\approx~0.1$\\
		\hline
	\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}
	\item En utilisant les résultats précédents, répondre aux questions suivantes:
	
	\begin{enumerate}
		\item Donner la limite de $f$ lorsque $t$ tend vers $+\infty$. 
		
		Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
		
		\item À l'aide du contexte, conjecturer les variations de la fonction $f$ sur $[0\;;\;+\infty[$.
		
		\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0\;;\;+\infty[$.
	\end{enumerate}
	
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre pour $t$ appartenant à $[0\;;\;+\infty[$  l'inéquation: $f(t) \leqslant 0,2$.
		
		Arrondir le résultat à l'unité.
		
		\item Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}
