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% Classe de document
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\documentclass[a4paper,12pt,x11names]{article}

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% Encodage, langue
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% Mathématiques
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\def\ds{\displaystyle}

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% Mise en page générale
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% En-têtes et pieds de page
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\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}

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% Tableaux
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\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} % centrage vertical

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% Colonnes, listes, divers
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\usepackage{multicol}
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% Graphiques (PSTricks)
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% Macros utilitaires
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% Paramètres document
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\def\monnumero{3}
\def\madate{Février 2026}

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% En-tête / pied de page
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\lhead{\footnotesize\textsf{Lycée Schuman Perret\\ \madate}}
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{Contrôle No~\monnumero}}}}}
\rhead{\footnotesize NOM : \hskip 3cm~\\ \textsf{Cira\textsuperscript{2}}}

\lfoot{\scriptsize\textsf{\textsc{Stéphane Le Méteil}}}
\rfoot{\scriptsize\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}

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% Environnements Exercices
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\newcommand{\exo}{%
	\bigskip
	\stepcounter{nexo}
	\vskip 0.3cm
	\par\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{\small EXERCICE~\arabic{nexo}}}}\quad
}

\begin{document}%\everymath{\displaystyle}

Rappels : L'échelon unité est défini sur $\Z$ par $e(n) = \begin{cases} 1\text{ si } n\geqslant 0\\0\text{ si } n<0\end{cases}$

La suite $d_0$ est définie sur $\Z$ par $d_0(n) = \begin{cases} 1\text{ si } n= 0\\0\text{ si } n\neq0\end{cases}$\bigskip

Une fonction est causale si elle est nulle sur $]-\infty;0[$

\bigskip

\exo On considère l'équation différentielle $y'-3y= t$ et $y(0)= 0$

 On décide de discrétiser cette équation par : $\dfrac{y(n)-y(n-1)}{T_e}-3y(n) = n e(n)$ avec un $T_e = 0,01s$.
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Ecrire $y(n)$ en fonction de $y(n-1)$.
		
		\item Calculer $y(n)$ pour $n=-1,~0,~1,~2$ sachant que $y$ est causale.
		
		\item Transformer en $Z$ l'équation obtenue.
		
		\item Sachant que la décomposition en éléments simples de $G(z) = \dfrac{F(z)}{z}$ est :  
		
		$ G(z) = \dfrac{A}{(z-1)^2} + \dfrac{B}{z-1} + \dfrac{C}{z-\frac{100}{97} } $ déterminer les valeurs des constantes réelles $A$, $B$ et $C$.
		
		\item Que devient l'expression de $F(z)$ ?
		
		\item Retrouver son originale $y(n)$.
		
	\end{enumerate}
	

\exo Soit $(y_n)$ une suite causale définie sur $\Z$ par l'équation 

\hfil $(E):$ $y(n) = \dfrac13y(n-1)+\dfrac29y(n-2)+d_0(n)$

\begin{enumerate}
	
	\item Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ de  $y(n)$ pour chaque $n$ compris entre $0$ et 3.\\Quelle semble être la limite de $y(n)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ ?
	
	\item \'Ecrire la transformée en $\large Z$ l'équation $(E)$, on notera $Y$ la transformée de $y$
	
	\item Montrer que $Y(z)$ peut s'écrire $Y(z) = \dfrac{9z^2}{(3z-2)(3z+1)}$
	
	\item On écrit $G(z) = \dfrac{F(z)}{z}$, décomposer $G(z)$ en éléments simples.
	
	\item En déduire l'expression de $y(n)$en fonction de $n$
	
	\item Vérifier ce résultat en retrouvant les valeurs obtenues en 1) \\puis calculer la limite de $y(n)$ lorsque $n$
	tend vers $+\infty$
	
\end{enumerate}



\end{document}
