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EXERCICE~\arabic{nexo}}}}\affichepoints{#1}\quad}

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\begin{document}%\everymath{\displaystyle}

\cor[10]

\begin{enumerate}
	\item \points{2pts} {\red $ \dfrac{y(n)-y(n-1)}{ \frac{1}{100} }-3y(n) = n e(n) $ 
	
	donc  $ 100\Big(y(n)-y(n-1)\Big)-3y(n) = n e(n) $ 
	
	donc  $ 100y(n)-100y(n-1)-3y(n) = n e(n) $ 
	
	donc $ 97y(n)-100y(n-1) = n e(n) $ 
	 
	donc $ 97y(n) = 100y(n-1)+n e(n) $ 
	
	donc $ \fbox{ $ y(n) =  \dfrac{100}{97} y(n-1) + \dfrac{n e(n)}{97}  $ } $ }
	
	\item \points{1.5pts} {\red $y(-1) = 0$ car $y$ est causale, $y(0) = 0+0=0$ puis $y(1) = \dfrac{1}{97} \approx0,0103$ 
	
	et enfin $y(2) = \dfrac{100}{97}\times \dfrac{1}{97}+\dfrac{2}{97} = \dfrac{294}{9409}\approx 0,0312$}
	
	\item \points{1.5pts} {\red La transformée en $ z $ donne alors : 
	
	$ F(z) =  \dfrac{100}{97} z^{-1}\times F(z)+ \dfrac{1}{97} \dfrac{z}{(z-1)^2} $ 
	
	puis $ z\times F(z) =  \dfrac{100}{97} F(z)+ \dfrac{1}{97} \dfrac{z^2}{(z-1)^2} $ 
	
	donc $ \left(z-\dfrac{100}{97} \right)\times F(z) =  \dfrac{1}{97} \dfrac{z^2}{(z-1)^2} $ 
	
	donc $ \fbox{ $ F(z) =  \dfrac{1}{97} \dfrac{z^2}{(z-1)^2\left(z-\frac{100}{97} \right)} $ } $ }
	
	
	\item \points{2.5pts} {\red Décomposons en éléments simples $ G(z) = \dfrac{1}{97} \dfrac{z}{(z-1)^2\left(z-\frac{100}{97} \right)} $ 
	
	on a : $ G(z) = \dfrac{A}{(z-1)^2} + \dfrac{B}{z-1} + \dfrac{C}{z-\frac{100}{97} } $ 
	
	$ A = \lim\limits_{z\to 1}(z-1)^2G(z) = \lim\limits_{z\to 1} \dfrac{z}{z-\frac{100}{97} } = \dfrac{1}{97} \frac{-97}{3}=-\dfrac13  $ 
	
	$ C = \lim\limits_{z\to  \frac{100}{97} }(z-\frac{100}{97} )G(z) = \lim\limits_{z\to  \frac{100}{97} }\dfrac{z}{(z-1)^2} =  \dfrac{1}{97} \frac{9700}{9}=\dfrac{100}{9}  $ 
	
	donc  $\lim\limits_{z\to +\infty}(z-1)G(z) = \lim\limits_{z\to\infty} \dfrac{z}{(z-1)\left(z-\frac{100}{97} \right)} = 0 = 0+B+C$ donc $ C = -B =  \frac{-100}{9}  $ 
	
	on a : $ G(z) = \dfrac{ \frac{-1}{3} }{(z-1)^2}+\dfrac{ \frac{-100}{9} }{z-1} + \dfrac{ \frac{100}{9} }{z-\frac{100}{97} } $ 

	$ G(z) =  \frac{-1}{3}\dfrac{1 }{(z-1)^2}-\frac{100}{9}\dfrac{ 1 }{z-1} + \frac{100}{9}\dfrac{ 1 }{z-\frac{100}{97} } $ 
	
	}

	\item \points{1pt} {\red On a : 	$ F(z) =  z\times G(z)$
	
	donc   $ F(z) =  \frac{-1}{3} \dfrac{z}{(z-1)^2} -\frac{100}{9} \dfrac{z}{z-1} + \frac{100}{9} \dfrac{z}{z-\frac{100}{97} } $  }
	
	\item \points{1.5pts} {\red On peut alors utiliser la table des transformées usuelles pour retrouver les originaux : 
	
	$ y(n) =  \frac{-1}{3} n e(n)-\frac{100}{9} e(n) + \frac{100}{9} \left( \frac{100}{97} \right)^ne(n) $ 
	
	Et pour tout $ n\in\mathbb{N} $, on a :  $ \fbox{ $ y(n) =  \frac{-n}{3} -\frac{100}{9} + \frac{100}{9} \left( \frac{100}{97} \right)^n $ } $
	
	}
\end{enumerate}

\cor[10] Soit $(y_n)$ une suite causale définie sur $\Z$ par l'équation 

\hfil $(E):$ $y(n) = \dfrac13y(n-1)+\dfrac29y(n-2)+d_0(n)$

\begin{enumerate}
	
	\item \points{2pts} Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ de  $y(n)$ pour chaque $n$ compris entre $0$ et 3.\\Quelle semble être la limite de $y(n)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ ?
	
	{\red  
	
	$y(0) = \dfrac13\times 0+\dfrac29\times 0+d_0(0) = 1$ car $y$ est causale donc nulle pour les négatifs
	
	$y(1) = \dfrac13\times 1+\dfrac29\times 0+d_0(1) = \dfrac13 \approx 0,33$
	
	$y(2) = \dfrac13\times \dfrac13+\dfrac29\times 1+d_0(1) = \dfrac13 \approx 0,33$
	
	$y(3) = \dfrac13\times \dfrac13+\dfrac29\times \dfrac13+d_0(1) = \dfrac{5}{27}\approx 0,136$
	
	}
	
	\item \points{1pt}\'Ecrire la transformée en $\large Z$ l'équation $(E)$, on notera $Y$ la transformée de $y$
	
	{\red Transformons en $Z$, on obtient : $Y(z) = \dfrac13 z^{-1}Y(z) + \dfrac29 z^{-2}Y(z) + 1$
	
	}
	
	
	\item \points{2pts}Montrer que $Y(z)$ peut s'écrire $Y(z) = \dfrac{9z^2}{(3z-2)(3z+1)}$
	
	{\red Multiplions par $z^2$ cela donne : $z^2Y(z) = \dfrac13 z Y(z) + \dfrac29 Y(z) + z^2$
		
		Rassemblons les $F(z)$ cela donne : $Y(z)\left(z^2 -\dfrac13 z - \dfrac29\right)  = z^2$
		
		Factorisons : $z^2 -\dfrac13 z - \dfrac29$, on a : $\Delta = 1$ donc les racine sont $z=-\frac13$ et $z=\frac23$
		
		On a alors : $z^2 -\dfrac13 z - \dfrac29 = (z+\frac13)(z-\frac23)$
		
		donc : $Y(z)\left((z+\frac13)(z-\frac23)\right) = z^2$
		
		donc $Y(z) = \dfrac{z^2}{(z+\frac13)(z-\frac23)}$
		
		Et finalement : $Y(z) = \dfrac{9z^2}{(3z-2)(3z+1)}$ en multipliant par 9 le numérateur et le dénominateur}
	
	\item \points{2pts}On écrit $G(z) = \dfrac{F(z)}{z}$, décomposer $G(z)$ en éléments simples.
	
	{\red $G(z) = \dfrac{F(z)}{z} = \dfrac{9z}{(3z-2)(3z+1)} = \dfrac{A}{3z-2}+\dfrac{B}{3z+1}$
	
	$A= \lim\limits_{z\to\frac23}(3z-2)Y(z) = 2$
	
	$B= \lim\limits_{z\to-\frac13}(3z+1)Y(z) = 1$
	
	donc  $G(z) =  \dfrac{2}{3z-2}+\dfrac{1}{3z+1}$
	
	}
	
	
	\item \points{2pts}En déduire l'expression de $y(n)$en fonction de $n$
	
	{\red 
	
	$Y(z) = z\times G(z) = \dfrac{2z}{3z-2}+\dfrac{z}{3z+1}$ 
	
	Divisons le numérateur et le dénominateur de chaque fraction par 3
	
	$Y(z) =   \dfrac{\frac23z}{z-\frac23}+\dfrac{\frac13z}{z-\left(-\frac13\right)}$ 
	
	$Y(z) =   \frac23\times \dfrac{z}{z-\frac23}+\frac13\times \dfrac{z}{z-\left(-\frac13\right)}$ 
	
	donc $y(n) = \frac23\left(\frac23\right)^ne(n) + \frac13\left(-\frac13\right)^ne(n)$
	
	Et, pour tout $n\ni\N$, on a : $y(n) = \frac23\left(\frac23\right)^n + \frac13\left(-\frac13\right)^n$
	
	}
	
	
	\item \points{1pts} Vérifier ce résultat en retrouvant les valeurs obtenues en 1) \\puis calculer la limite de $y(n)$ lorsque $n$
	tend vers $+\infty$
	
	{\red Pour $n=0$, on obtient : $y(0) = \frac23\left(\frac23\right)^0 + \frac13\left(-\frac13\right)^0 = \dfrac33 = 1$
	
	Pour $n=1$, on obtient : $y(1) = \frac23\left(\frac23\right)^1 + \frac13\left(-\frac13\right)^1 = \dfrac39 = \dfrac13$
	
	Pour $n=2$, on obtient : $y(2) = \frac23\left(\frac23\right)^2 + \frac13\left(-\frac13\right)^2 = \dfrac{9}{27} = \dfrac13$
	
	Pour $n=3$, on obtient : $y(3) = \frac23\left(\frac23\right)^3 + \frac13\left(-\frac13\right)^3 = \dfrac{15}{81} = \dfrac{5}{27}$
	
	}
	
	
\end{enumerate}



\end{document}
