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% Classe de document
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\documentclass[a4paper,12pt,x11names]{article}

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% Encodage, langue
% =========================================================
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% Mathématiques
% =========================================================
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\usepackage{dsfont}

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\newcommand{\N}{\mathds{N}}
\newcommand{\Z}{\mathds{Z}}
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\def\ds{\displaystyle}

% =========================================================
% Mise en page générale
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\usepackage[left=2cm,right=1.5cm,top=2.5cm,bottom=2.5cm]{geometry}

\setlength{\parindent}{0pt}
\hyphenpenalty=10000 % empêche la coupure de mots

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% En-têtes et pieds de page
% =========================================================
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}

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% Tableaux
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\usepackage{tabularx}
\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} % centrage vertical

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% Colonnes, listes, divers
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\usepackage{enumerate}
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% Graphiques (PSTricks)
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% Macros utilitaires
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% Paramètres document
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\def\monnumero{1}
\def\madate{Septembre 2026}

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% En-tête / pied de page
% =========================================================
\lhead{\footnotesize\textsf{Lycée Schuman Perret\\ \madate}}
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{Devoir surveillé No~\monnumero}\\1ère G}}}}
\rhead{Corrigé}

\fancypagestyle{premierepage}{
	\fancyhf{}
	\lhead{\footnotesize\textsf{Lycée Schuman Perret\\ \madate}}
	\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{Contrôle N°~\monnumero}\\1ère Spé maths.}}}}
	\rhead{Nom :\begin{minipage}{4cm}\dotfill\end{minipage}\\~\\
		Prénom :\begin{minipage}{4cm}\dotfill\end{minipage}}
}

\lfoot{\scriptsize\textsf{\textsc{Stéphane Le Méteil}}}
\rfoot{\scriptsize\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}

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% Environnements Exercices
% =========================================================
\newcounter{nexo}\setcounter{nexo}{0}
\newcounter{ncor}\setcounter{ncor}{0}

\newcommand{\affichepoints}[1]{\reversemarginpar\if\relax\detokenize{#1}\relax\else\marginpar{\hspace*{0.5cm}\footnotesize#1\ifdim#1pt>1pt  \tiny{pts}\else \tiny{pt}\fi}\fi}

\newcommand{\points}[1]{\hskip -1.5cm {\blue\tiny #1}\hskip 1.cm}

\newcommand{\exo}[1]{\bigskip\stepcounter{nexo}\vskip0.3cm\par\noindent\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{\small 
				EXERCICE~\arabic{nexo}}}}\affichepoints{#1}\quad}

\newcommand{\cor}[1]{\bigskip\stepcounter{ncor}\vskip0.3cm\par\noindent\textsf{\textbf{\textcolor{red}{\small CORRIGÉ~\arabic{ncor}}}}\affichepoints{#1}\quad}

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% OUTILS
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\usepackage{pgf}
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\def\e{\text{e}}

\begin{document}
%\everymath{\displaystyle}
\onehalfspacing
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\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{\small Soin : }}} écriture lisible, régulière, traits au crayon et à la règle, exercices séparés clairement.\affichepoints{2}

\exo{3} A l'aide de la calculatrice donner la valeur exacte de $U_{5}$ dans les trois cas suivants : 

\begin{enumerate}
	\item En sachant que $U_{n} = 2n+3$
	
	{\red On a : $U_5 = 2\times 5+3 = 10+3 = 13$}
	
	\item En sachant que $U_0=2$ et $U_{n+1} = 2U_n+1$
	
	{\red On doit calculer les termes précédents : $U_1 = 2\times2+1 = 5$ puis $U_2 = 2\times5+1 = 11$ puis $U_3 = 2\times11+1 = 23$ puis $U_4 = 2\times23+1 = 47$ et enfin $U_5 = 2\times47+1 = 95$}
	
	\item En sachant que $U_0=0$ et $U_{n+1} = 3U_n+n-2$
	
	{\red On doit calculer les termes précédents mais c'est un peu plus subtil : 
		
		$U_1 = U_{0+1} = 3\times1+0-2 = 1$
		
		$U_2 = U_{1+1} = 3\times1+1-2 = 2$
		
		$U_3 = U_{2+1} = 3\times2+2-2 = 6$
		
		$U_4 = U_{3+1} = 3\times6+3-2 = 19$
		
		$U_5 = U_{4+1} = 3\times19+4-2 = 59$ }
	\end{enumerate}


\exo{4} 	Pour tout $n\in\N$, on donne : $U_n = 4n+7$

\begin{enumerate}
	\item Calculer $U_0$,\quad $U_1$,\quad $U_2$,\quad $U_3$.
	
	{\red $U_0 = 4\times0+7 = 7$, \quad $U_1 = 4\times1+7 = 11$, \quad $U_2 = 4\times2+7 = 15$, \quad $U_3 = 4\times3+7 = 19$ }
	
	\item Exprimer $U_{n+1}$ en fonction de $n$
	
	{\red $U_{n+1} = 4\times (n+1) + 7 = 4n+4+7 = 4n+11$}
	
	\item En déduire que $U_{n+1}-U_n = 4$
	
	{\red $U_{n+1}-U_n = (4n+11)-(4n+7) = 4n+11-4n-7 = 4$ }
	
	\item A quelle famille appartient cette suite $(U_n)$ ? Quelle est sa raison ?
	
	{\red Puisque pour tout entier naturel $n$, on a : $U_{n+1}-U_n = 4$ la suite $U$ est arithmétique, de raison 4}
	
	\item \'Ecrire alors sa définition récursive.
	
	{\red Sa définition récursive est alors $U_0 = 7$ et pour tout entier naturel $n$, $U_{n+1} = U_n+4$}
	
\end{enumerate}

\goodbreak


\exo{3} Sachant que $U$ est arithmétique, que $U_4 = 25$ et que $U_{9} = 85$, 

\begin{enumerate}
	\item Rappeler la définition explicite ou directe d'une suite arithmétique.
	
	{\red Dans le cours, cette définition est : pour tout entier naturel $n$,\quad $U_n = U_0+n\times R$}
	
	\item Montrer que $R=12$ puis calculer $U_0$ 
	
	{\red Comme $U_{9} = 85$ cela donne $U_{0} +9R = 85$ donc  $U_{0} = 85 -9R$
	
	Comme $U_{4} = 25$ cela donne $U_{0} +4R = 25$ donc $U_0 = 25-4R$
	
	On a donc l'égalité $85 -9R = 25 -4R$ donc $85-25 = -4R+9R$ donc $5R = 16$ donc $R = \frac{60}{5}$ c'est à dire $R=12$
	
	Comme on avait $U_{0} = 85 -9R$ cela donne $U_{0} = -23$
	
	}
	
	\item Montrer que $U_{32}=477$
	
	{\red Puisque pour tout entier naturel $n$,\quad $U_n = U_0+n\times R$, cela donne : $U_{3} = -23+30\times 12$ donc $U_{30} = 337$}
	
	\item Combien y a-t-il de termes de $U_0$ à $U_{30}$ ? 
	
	{\red Comme on commence à compter à partir de 0, il y a 31 termes.}
	
	\item En déduire la valeur exacte de la somme $S=U_0+\cdots+U_{3}$
	
	{\red D'après le cours, $S=\dfrac{\text{premier}+\text{dernier}}{2}\times{nb de termes}$
		
		cela donne $S = \dfrac{-23+337}{2}\times 30 =4867$
	}
	
\end{enumerate}


\exo{4} On considère la suite définie sur $\N$ par $U_0=2$ et $U_{n+1} = \dfrac12U_n+7$.

\begin{enumerate}
	\item Calculer $U_1$ et $U_2$.
	
	{\red On calcule $U_1=\frac12\times 2+7 = 1+7 = 8$ et $U_2 = \frac12\times8 + 7 = 4+7 = 11$}
	
	\item Expliquer pourquoi la suite n'est ni arithmétique ni géométrique.
	
	{\red $U_1-U_0 = 6$\quad et \quad $U_2-U_1 = 3$
	
	Ces nombres sont différents, la suite ne peut pas être arithmétique.
	
	$\dfrac{U_1}{U_0} = 4$\quad et \quad $\dfrac{U_2}{U_1} = \dfrac{11}{8}\approx1,4$
	
	Ces nombres sont différents, la suite ne peut pas être géométrique.}
	
	\goodbreak
	
	\item On pose pour tout $n\in\N$, $V_n = U_n-14$. Montrer que la suite $(V_n)$ est géométrique. Donner sa raison et son premier terme $V_0$
	
	{\red Pour tout entier naturel $n$, on a : 
	
	$V_{n+1} = U_{n+1}-14$\quad puis \quad $V_{n+1} = \dfrac12U_{n}+7-14$ donc $V_{n+1} = \dfrac12U_{n}-7$
	
	or $V_n = U_n-14$ donc $U_n = V_n+14$ donc $V_{n+1} = \dfrac12(V_n+14)-7$
	
	En développant cela donne : $V_{n+1} = \dfrac12V_n+7-7$ c'est à dire  $V_{n+1} = \dfrac12V_n$\medskip
	
	La suite $V$ est alors géométrique, de raison $q=\frac12$ et de premier terme $V_0 = U_0-14 = -12$
	
	}
	
	
	\item Pour tout $n\in\N$, écrire $V_n$ puis $U_n$ en fonction de $n$
	
	{\red D'après ce qui précède, pour tout entier naturel $n$, on a : $V_n = -12\times\left(\frac12\right)^n$
	
	or on a vu que $U_n = V_n+14$ donc $U_n = -12\times\left(\frac12\right)^n+14$
	
	}
	
	
\end{enumerate}

\exo{4} 	\bigskip

Dans un lycée, on dispose au 1\ier{} septembre 2026
d'un stock de $500$ manuels scolaires.

Chaque année :

\begin{list}{\textbullet}{}
	\item $10\,\%$ des manuels sont retirés du stock car ils sont
	trop anciens ou trop abîmés ;
	
	\item le lycée achète ensuite $100$ nouveaux manuels.
\end{list}

On modélise la situation par une suite $(u_n)$ où, pour tout
entier naturel $n$, $u_n$ représente le nombre de manuels
disponibles au 1\ier{} septembre de l'année $(2026+n)$.

On obtient ainsi une suite $(u_n)$ telle que :

\hfil $u_0=500$ et $	u_{n+1}=0,9u_n+100$	pour tout entier naturel $n$.

\begin{enumerate}
	\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
	
	{\red On a : $u_1 = 0,9\times 500+100 = 550$ puis $u_2 =0,9\times 550+100 = 595$}
	
	Combien de manuels seront disponibles au
	1\ier{} septembre 2027 ?
	
	{\red Pour 2027, on a : $n=1$ donc 550 manuels}
	
	\item On définit la suite $(v_n)$ par $	v_n=u_n-1000 $ pour tout entier naturel $n$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $	v_{n+1}=0,9v_n $
		En déduire la famille à laquelle appartient la suite $(v_n)$.
		On précisera sa raison et son premier terme $v_0$.
		
		{\red Pour tout entier naturel $n$, on a : $v_{n+1} = u_{n+1} - \np{1000}$
			
			\hskip 7cm $ = 0,9u_{n}+100 - \np{1000}$
			
			\hskip 7cm $ = 0,9u_{n} - \np{900}$
			
			\hskip 7cm $ = 0,9(v_{n}+\np{1000}) - \np{900}$
			
			\hskip 7cm $ = 0,9v_{n}+ \np{900} - \np{900}$
			
			\hskip 7cm $ = 0,9v_{n}$
			
			La suite $v$ est donc géométrique, 
			
			\hfil de raison $q=0,9$ et de 1er terme $v_0 = u_0-1000 =-500$
			
		}
		
		
		\item Donner la définition directe de la suite $(v_n)$.
		
			{\red D'après le cours, on a :  $v_n = -500\times\left(0,9\right)^n$}
		
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$ : $u_n=1000-500\times0,9^n$
		
			{\red On a vu que $u_n = v_n+1000$ donc $u_n = 1000-500\times0,9^n$}
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}


\end{document}