% z transformée suite \documentclass[a4paper,11pt]{article} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage[french]{babel} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage[left=2cm,right=1.5cm,top=2.5cm,bottom=2.5cm]{geometry} \usepackage{fancyhdr} \fancyhf{} \setlength{\headheight}{26pt} \setlength{\footskip}{18pt} \renewcommand {\headrulewidth}{0pt} \renewcommand {\footrulewidth}{0pt} \usepackage{lastpage} \pagestyle{fancy} \usepackage {array} \usepackage{tabularx} \usepackage{pstricks,pst-all,pstricks-add,pst-tree,pst-3dplot,pst-circ} %\usepackage{setspace} \usepackage{dsfont} \usepackage[np]{numprint} \usepackage{graphicx} \usepackage{eso-pic} % pour avoir un trait de marge vertical \usepackage{multicol} \usepackage [alwaysadjust]{paralist} \usepackage{colortbl} \usepackage{eurosym} \usepackage{spreadtab} % pour une tabulation automatique %\usepackage{enumitem} % pour des puces différentes dans des listes \usepackage{enumerate} \frenchbsetup{StandardLists=true} % pour des points au lieu des tirets pour les listes par défaut \setdefaultenum {1.}{a)}{}{} \hyphenpenalty 10000 % empèche la coupure de mots \renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx \newcommand{\R}{\mathds {R}} \newcommand{\N}{\mathds {N}} \newcommand{\Z}{\mathds {Z}} \newcommand{\Q}{\mathds {Q}} \newcommand{\C}{\mathds {C}} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{i},~\vect{j}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \def\ds{\displaystyle } \def\tvi{\vrule height 15pt depth 10pt width 0pt } \DecimalMathComma % ########################### MES PARAMETRES ############################################################## \def\monnumero{ 02 } \def\madate{Octobre 2024} % ########################### MES PARAMETRES ############################################################## % en-tete \lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée Schuman Perret\\ \madate}}} %gauche \chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{série d'exercices No\monnumero}}}}} %centre \rhead{\footnotesize{\textsf{Cira 2 }}}%droit %pied de page \rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}} \lfoot{\scriptsize{\textsf{\textsc{Stéphane Le Méteil }}}} \setlength{\columnseprule}{0.5pt} \setlength{\columnsep}{30pt} \setlength{\parindent}{0mm} \newcounter{nexo}\setcounter{nexo}{0} \newcommand{\exo}{\medskip \stepcounter{nexo} \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{EXERCICE~\arabic{nexo}}}}}}}\quad} \def\taille{\vrule height 25pt depth 20pt width 0pt } \usepackage{paralist} \newlength{\positionbarre} \setlength{\positionbarre}{1.7 cm}% à changer selon les besoin \AddToShipoutPicture{% \put(\LenToUnit{\positionbarre},\LenToUnit{0.05\paperheight}){\begin{picture}(0,0)(0,0) \color{red}\line(0,1){\LenToUnit{0.85\paperheight}}\end{picture}} } \makeatother \begin{document}%\everymath{\displaystyle} \setdefaultleftmargin{0.6cm}{0.5cm}{}{}{}{} \exo Dessiner la fonction définie sur $\R$ par : $f(t) = tU(t) - (t-2)U(t-2)$ \exo Déterminer une expression de la fonction ayant pour graphe : \vskip -1cm\hfill\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.3cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.6pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \begin{pspicture*}(-2.46,-1.5)(3.74,4.38) \multips(0,0)(0,1.0){6}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(-2.46,0)(3.74,0)} \multips(-2,0)(1.0,0){7}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,-0.88)(0,4.38)} \psaxes[linewidth=1pt,labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-2.46,-0.88)(3.74,4.38) \psline[linewidth=1.8pt,linecolor=red](-3.,0.)(1.,0.) \psline[linewidth=1.pt,linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](1.,0.)(1.,3.) \psline[linewidth=1.8pt,linecolor=red](1.,3.)(2.,3.) \psline[linewidth=1.pt,linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](2.,3.)(2.,0.) \psline[linewidth=1.8pt,linecolor=red](2.,0.)(4.06,0.) \begin{scriptsize} \psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](1.,3.) \psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](2.,0.) \end{scriptsize} \end{pspicture*} \vskip -1cm \exo Décomposer en éléments simples : \begin{itemize} \item $F_1(p) = \dfrac{1}{(p+1)(p-5)}$\qquad puis \qquad $G_1(p) = \dfrac{1}{p(p-5)}$ \item $F_2(p) = \dfrac{7p+1}{(p-3)(p+1)}$ \qquad puis \qquad $G_2(p) = \dfrac{7p+1}{(p+1)(p-2)}$ \item $F_3(p) = \dfrac{5p}{(2p-1)(p+1)}$ \qquad puis \qquad $G_3(p) = \dfrac{6}{(p+1)(2p+5)}$ \item $F_4(p) = \dfrac{1}{p^2(p+1)}$ \qquad puis \qquad $G_4(p) = \dfrac{p+2}{p^2(p+2)}$ \end{itemize} \exo On souhaite résoudre $y'+3y = 4U(t)$ sachant que $y(0)= 2$ en utilisant la transformée de Laplace. Recopier et compléter le raisonnement suivant : \bigskip \hfill\fbox{\begin{minipage}{0.9\linewidth}\medskip Transformons en Laplace, on obtient : $ pY - 2 + 3 Y =...... $ \bigskip Puis : $ (p + 3 )Y = ..... $ \bigskip Enfin : $ Y = \dfrac{ 2 }{p + 3 } + ....... $ \bigskip Décomposons en éléments simples ce qui doit l'être : $ \dfrac{ 4 }{p\left(p + 3 \right)} $ On note : $ G(p) = \dfrac{ 4 }{p\left(p + 3 \right)} = \dfrac{A}{p}+\dfrac{B}{p + 3 } $ \bigskip Pour trouver $ A $, on calcule $ \lim\limits_{p\to 0} p\times G(p) = ..... = A+0$ donc $ A = ..... $ \bigskip Pour trouver $ B $, on calcule $ \lim\limits_{p\to - 3 } (p + 3 )\times G(p) = ..... = 0+B$ donc $ B = ..... $ \bigskip On a donc $ G(p) = ............... - .............................$ \bigskip Puis $ Y(p) = \dfrac{ 2 }{p + 3 } + ................................................ $ \bigskip On peut alors reconnaitre les originaux :\bigskip $ y(t) = 2 \times ...................... + .................. - ........................... $ \bigskip C'est à dire $ \fbox{ $ y(t) = \Big( \frac{2}{3} e^{ - 3 t } + \frac{4}{3} \Big) U(t) $ } $ en regroupant les termes.\bigskip \end{minipage}} \exo Utiliser la transformée de Laplace pour résoudre les problèmes différentiels suivants : \begin{multicols}{2} \begin{enumerate} \item $y'+3y =4U(t)$ sachant que $y(0)= 2$ \item $y'+2y = tU(t)$ sachant que $y(0) = 0$ \item $y'+2y = e^{3t}U(t)$ sachant que $y(0) = 0$ \item $y''+3y'+2y = U(t)$ sachant que $y(0) = 5$ et $y'(0) = 0$ \end{enumerate} \end{multicols} \end{document}