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\documentclass[a4paper,12pt,x11names]{article}

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% Encodage, langue
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\usepackage[latin1]{inputenc} % (UTF-8 possible si migration)
\usepackage[french]{babel}
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\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{dsfont}

\newcommand{\R}{\mathds{R}}
\newcommand{\N}{\mathds{N}}
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\def\ds{\displaystyle}

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% Mise en page générale
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\usepackage{fancyhdr}
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\fancyhf{}

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\def\monnumero{3}
\def\madate{Octobre 2026}

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% En-tête / pied de page
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\lhead{\footnotesize\textsf{Lycée Schuman Perret\\ \madate}}
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{Série d'exercices No~\monnumero\\La transformation de Laplace}}}}}
\rhead{\footnotesize \textsf{BTS Cira\textsuperscript{2}}}

\lfoot{\scriptsize\textsf{\textsc{Stéphane Le Méteil}}}
\rfoot{\scriptsize\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}

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% Environnements Exercices
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\newcounter{nexo}\setcounter{nexo}{0}
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\newcommand{\affichepoints}[1]{\reversemarginpar\if\relax\detokenize{#1}\relax\else\marginpar{\hspace*{0.5cm}\footnotesize#1\ifdim#1pt>1pt  \tiny{pts}\else \tiny{pt}\fi}\fi}

\newcommand{\points}[1]{\hskip -1.5cm {\blue\tiny #1}\hskip 1cm}

\newcommand{\exo}[1][]{\bigskip\stepcounter{nexo}\vskip0.0cm\par\noindent\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{\small 
				EXERCICE~\arabic{nexo}}}}\affichepoints{#1}\quad}

\newcommand{\cor}[1][]{\bigskip\stepcounter{ncor}\vskip0.3cm\par\noindent\textsf{\textbf{\textcolor{red}{\small CORRIGÉ~\arabic{ncor}}}}\affichepoints{#1}\quad}

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% OUTILS
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\usepackage{pgf}
\usepackage{multicol}
\def\e{\text{e}}

\begin{document}%\everymath{\displaystyle}

\exo
\textbf{Transformée de Laplace de fonctions usuelles}

On note $u$ l'échelon unité :
\[
u(t)=
\begin{cases}
	0 & \text{si }t<0,\\
	1 & \text{si }t\geqslant0.
\end{cases}
\]

On rappelle les transformées de Laplace usuelles :
\[
\mathcal{L}\{u(t)\}=\frac{1}{p},
\qquad
\mathcal{L}\{t\,u(t)\}=\frac{1}{p^2},
\]
\[
\mathcal{L}\{e^{at}u(t)\}=\frac{1}{p-a},
\qquad
\mathcal{L}\{\sin(at)u(t)\}=\frac{a}{p^2+a^2},
\]
\[
\mathcal{L}\{\cos(at)u(t)\}=\frac{p}{p^2+a^2}.
\]

Déterminer la transformée de Laplace $F(p)$ de chacune des fonctions suivantes.

\begin{multicols}{2}
	
	\begin{enumerate}
		\item $f(t)=3u(t)$.
		
		\item $f(t)=5t\,u(t)$.
		
		\item $f(t)=4e^{2t}u(t)$.
		
		\item $f(t)=3\sin(5t)u(t)$.
		
		\item $f(t)=2\cos(4t)u(t)$.
		
		\item $f(t)=2u(t)+3t\,u(t)$.
		
		\item $f(t)=e^{-3t}u(t)+2\sin(2t)u(t)$.
		
		\item $f(t)=4\cos(3t)u(t)-t\,u(t)$.
	\end{enumerate}
	
\end{multicols}


\exo
\textbf{Retrouver l'original à partir de sa transformée de Laplace}

On cherche ici la fonction $f(t)$ dont la transformée de Laplace est $F(p)$.

Pour certaines fonctions, il sera nécessaire de commencer par décomposer $F(p)$ en éléments simples.

Déterminer l'original $f(t)$ de chacune des fonctions suivantes.

\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
	
	\item
	\[
	F(p)=\frac{3}{p}.
	\]
	
	\item
	\[
	F(p)=\frac{5}{p^2}.
	\]
	
	\item
	\[
	F(p)=\frac{2}{p-3}.
	\]
	
	\item
	\[
	F(p)=\frac{4}{p^2+16}.
	\]
	
	\item
	\[
	F(p)=\frac{3p}{p^2+9}.
	\]
	
	\item
	\[
	F(p)=\frac{2}{p}+\frac{3}{p^2}.
	\]
	
	\item
	\[
	F(p)=\frac{1}{p-2}+\frac{4}{p}.
	\]
	
	\item
	\[
	F(p)=\frac{2p+6}{p^2+9}.
	\]
	
	\item
	\[
	F(p)=\frac{5p+10}{p^2+25}.
	\]
	
	\item
	\[
	F(p)=\frac{3}{p(p+2)}.
	\]
	
\end{enumerate}
\end{multicols}

Pour la dernière question, on pourra rechercher deux constantes $a$ et $b$ telles que
\[
\frac{3}{p(p+2)}
=
\frac{a}{p}+\frac{b}{p+2}.
\]

\end{document}