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% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################

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\begin{document}\everymath{\displaystyle}

\section*{Exercice 1 -- Dépréciation d'une machine-outil}

Une entreprise achète une machine-outil neuve pour un prix de $48\,000$~\euro.
On estime que, chaque année, la valeur de la machine diminue de $18\,\%$, puis qu'une remise en état lui fait gagner $1\,500$~\euro{} de valeur.

On note $u_n$ la valeur, en euros, de la machine après $n$ années. Ainsi :
\[
u_0=48\,000
\]
et, pour tout entier naturel $n$,
\[
u_{n+1}=0,82u_n+1\,500.
\]

\subsection*{Partie A -- Étude des premiers termes}

\begin{enumerate}
	\item À l'aide de la calculatrice, calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$.
	
	\item La suite $(u_n)$ semble-t-elle être une suite arithmétique ?
	Justifier la réponse en calculant deux différences successives.
	
	\item La suite $(u_n)$ semble-t-elle être une suite géométrique ?
	Justifier la réponse en calculant deux quotients successifs.
\end{enumerate}

\subsection*{Partie B -- Une suite auxiliaire}

On cherche à transformer la suite $(u_n)$ en une suite géométrique.

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{3}
	\item Déterminer le nombre $L$ tel que :
	\[
	L=0,82L+1\,500.
	\]
	
	\item On définit la suite $(v_n)$ par :
	\[
	v_n=u_n-L.
	\]
	Montrer que, pour tout entier naturel $n$,
	\[
	v_{n+1}=0,82v_n.
	\]
	
	\item En déduire que la suite $(v_n)$ est géométrique.
	Donner sa raison.
	
	\item Calculer son premier terme $v_0$.
	
	\item Donner l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}

\subsection*{Partie C -- Expression explicite de $(u_n)$}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{8}
	\item En utilisant la relation entre $u_n$ et $v_n$, donner l'expression explicite de $u_n$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}


\newpage

\section*{Exercice 2 -- Évolution du nombre de clients d'une entreprise}

Une entreprise de maintenance informatique compte initialement $1\,200$ clients.
Chaque année, elle conserve $90\,\%$ de ses clients et réussit à conquérir $180$ nouveaux clients.

On note $u_n$ le nombre de clients de l'entreprise après $n$ années.

On a donc :
\[
u_0=1\,200
\]
et
\[
u_{n+1}=0,9u_n+180.
\]

\subsection*{Partie A -- Premières observations}

\begin{enumerate}
	\item À l'aide de la calculatrice, calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$.
	
	\item Montrer, à l'aide de calculs, que la suite $(u_n)$ n'est pas arithmétique.
	
	\item Montrer que la suite $(u_n)$ n'est pas géométrique.
\end{enumerate}

\subsection*{Partie B -- Construction d'une suite géométrique}

On souhaite déterminer une expression explicite de $u_n$.

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{3}
	\item Déterminer le nombre $L$ vérifiant :
	\[
	L=0,9L+180.
	\]
	
	\item On pose :
	\[
	v_n=u_n-L.
	\]
	Montrer que :
	\[
	v_{n+1}=0,9v_n.
	\]
	
	\item En déduire que $(v_n)$ est une suite géométrique.
	Préciser sa raison.
	
	\item Calculer $v_0$.
	
	\item En déduire l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}

\subsection*{Partie C -- Retour à la suite $(u_n)$}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{8}
	\item En déduire la définition explicite de $u_n$ en fonction de $n$.
	
	\item À l'aide de cette expression, déterminer le nombre de clients prévu après $15$ ans.
\end{enumerate}


\newpage

\section*{Exercice 3 -- Production d'une ligne automatisée}

Une usine met en place une nouvelle ligne de production.
Lors du premier mois, elle produit $2\,500$ pièces.

Chaque mois, en raison de l'usure des machines, la production représente $95\,\%$ de celle du mois précédent. Une amélioration du processus permet cependant d'ajouter $250$ pièces à la production mensuelle.

On note $u_n$ la production, en nombre de pièces, au cours du mois $n$, avec :
\[
u_0=2\,500.
\]

On admet que :
\[
u_{n+1}=0,95u_n+250.
\]

\subsection*{Partie A -- Utilisation de la calculatrice}

\begin{enumerate}
	\item Calculer les cinq premiers termes $u_0$, $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$ à l'aide de la calculatrice.
	
	\item Expliquer pourquoi le suite n'est pas arithmétique.
	
	\item Expliquer pourquoi le suite n'est pas géométrique.
\end{enumerate}

\subsection*{Partie B -- Une nouvelle suite}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{3}
	\item Déterminer le nombre $L$ tel que :
	\[
	L=0,95L+250.
	\]
	
	\item On définit :
	\[
	v_n=u_n-L.
	\]
	Montrer que :
	\[
	v_{n+1}=0,95v_n.
	\]
	
	\item Quelle est la nature de la suite $(v_n)$ ?
	Donner sa raison.
	
	\item Calculer son premier terme $v_0$.
	
	\item Donner la définition explicite de $v_n$.
\end{enumerate}

\subsection*{Partie C -- Expression explicite}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{8}
	\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$ :
	\[
	u_n=v_n+L.
	\]
	
	\item En déduire l'expression explicite de $u_n$.
	
	\item Calculer la production prévue au $10^{\text{e}}$ mois.
\end{enumerate}


\newpage

\section*{Exercice 4 -- Chiffre d'affaires d'un service commercial}

Une société propose un nouveau service d'abonnement.
Lors de son lancement, son chiffre d'affaires mensuel est de $15\,000$~\euro{}.

Chaque mois, le chiffre d'affaires augmente de $12\,\%$ grâce à l'augmentation du nombre d'abonnés, mais l'entreprise doit faire face à une diminution fixe de $800$~\euro{} liée à certaines remises commerciales.

On note $u_n$ le chiffre d'affaires, en euros, au cours du mois $n$, avec :
\[
u_0=15\,000.
\]

On modélise son évolution par :
\[
u_{n+1}=1,12u_n-800.
\]

\subsection*{Partie A -- Observation des premiers termes}

\begin{enumerate}
	\item À l'aide de la calculatrice, calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$.
	
	\item Calculer les différences :
	\[
	u_1-u_0,\qquad
	u_2-u_1,\qquad
	u_3-u_2.
	\]
	En déduire que la suite $(u_n)$ n'est pas arithmétique.
	
	\item Calculer les quotients :
	\[
	\frac{u_1}{u_0},\qquad
	\frac{u_2}{u_1},\qquad
	\frac{u_3}{u_2}.
	\]
	En déduire que la suite $(u_n)$ n'est pas géométrique.
\end{enumerate}

\subsection*{Partie B -- Transformation de la suite}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{3}
	\item Déterminer le nombre $L$ vérifiant :
	\[
	L=1,12L-800.
	\]
	
	\item On définit la suite $(v_n)$ par :
	\[
	v_n=u_n-L.
	\]
	Montrer que :
	\[
	v_{n+1}=1,12v_n.
	\]
	
	\item En déduire que $(v_n)$ est une suite géométrique.
	Préciser sa raison.
	
	\item Calculer $v_0$.
	
	\item Donner l'expression explicite de $v_n$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}

\subsection*{Partie C -- Retour au chiffre d'affaires}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{8}
	\item En utilisant la relation entre $u_n$ et $v_n$, donner l'expression explicite de $u_n$.
	
	\item Vérifier que cette expression permet bien de retrouver $u_1$.
	
	\item Déterminer le chiffre d'affaires prévu au $12^{\text{e}}$ mois.
\end{enumerate}

\end{document}