% ========================================================= % Classe de document % ========================================================= \documentclass[a4paper,12pt,x11names]{article} % ========================================================= % Encodage, langue % ========================================================= \usepackage[latin1]{inputenc} % (UTF-8 possible si migration) \usepackage[french]{babel} \frenchbsetup{StandardLists=true} % ========================================================= % Mathématiques % ========================================================= \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{dsfont} \newcommand{\R}{\mathds{R}} \newcommand{\N}{\mathds{N}} \newcommand{\Z}{\mathds{Z}} \newcommand{\C}{\mathds{C}} \def\ds{\displaystyle} % ========================================================= % Mise en page générale % ========================================================= \usepackage[left=1.5cm,right=1cm,top=2.5cm,bottom=2.5cm]{geometry} \setlength{\parindent}{0pt} \hyphenpenalty=10000 % empêche la coupure de mots % ========================================================= % En-têtes et pieds de page % ========================================================= \usepackage{fancyhdr} \usepackage{lastpage} \pagestyle{fancy} \fancyhf{} \setlength{\headheight}{40pt} \setlength{\footskip}{18pt} \renewcommand{\headrulewidth}{1pt} \renewcommand{\footrulewidth}{0pt} % ========================================================= % Tableaux % ========================================================= \usepackage{array} \usepackage{tabularx} \renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} % centrage vertical % ========================================================= % Colonnes, listes, divers % ========================================================= \usepackage{multicol} \setlength{\columnseprule}{0.5pt} \setlength{\columnsep}{30pt} \usepackage{enumerate} \usepackage{setspace} \usepackage[np]{numprint} \DecimalMathComma % ========================================================= % Graphiques (PSTricks) % ========================================================= \usepackage{pstricks-add} \usepackage{tikz} % ========================================================= % Macros utilitaires % ========================================================= \def\tvi{\vrule height 20pt depth 20pt width 0pt} % ========================================================= % Paramètres document % ========================================================= \def\monnumero{2} \def\madate{Septembre 2026} \def\laclasse{Cira2} % ========================================================= % En-tête / pied de page % ========================================================= \lhead{\footnotesize\textsf{Lycée Schuman Perret\\ \madate}} \chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{Minitest No~\monnumero}\\ \laclasse}}}} \rhead{Nom :\begin{minipage}{4cm}\dotfill\end{minipage}\\~\\Prénom :\begin{minipage}{4cm}\dotfill\end{minipage}} \lfoot{\scriptsize\textsf{\textsc{Stéphane Le Méteil}}} %\rfoot{\scriptsize\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}} % ========================================================= % Environnements Exercices % ========================================================= \newcounter{nexo}\setcounter{nexo}{0} \newcounter{ncor}\setcounter{ncor}{0} \newcommand{\affichepoints}[1]{\reversemarginpar\if\relax\detokenize{#1}\relax\else\marginpar{\hspace*{0.5cm}\footnotesize#1\ifdim#1pt>1pt \tiny{pts}\else \tiny{pt}\fi}\fi} \newcommand{\points}[1]{\hskip -1.5cm {\blue\tiny #1}\hskip 1cm} \newcommand{\exo}[1][]{\bigskip\stepcounter{nexo}\vskip0.3cm\par\noindent\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{\small EXERCICE~\arabic{nexo}}}}\affichepoints{#1}\quad} \newcommand{\cor}[1][]{\bigskip\stepcounter{ncor}\vskip0.3cm\par\noindent\textsf{\textbf{\textcolor{red}{\small CORRIGÉ~\arabic{ncor}}}}\affichepoints{#1}\quad} %======================================== % OUTILS %======================================== \usepackage{pgf} \usepackage{multicol} \def\e{\text{e}} \begin{document}%\everymath{\displaystyle} \doublespacing Décomposer en éléments simples la fraction suivante : $F(p) = \dfrac{p+5}{(p+2)(p-3)}$ \vskip 0.5cm {\red Pour trouver A, associé à $(p+2)$ on multiplie $G(p)$ par $(p+2)$ on simplifie et on fait tendre $p$ vers $-2$ On obtient : ${\red (p+2)} G(p) = \dfrac{(p+5){\red (p+2)}} {(p+2)(p-3)} = \dfrac{A{\red (p+2)}}{(p+2)} + \dfrac{B{\red (p+2)}}{p-3}$\bigskip puis $(p+2) G(p) = \dfrac{p+5}{p-3} = A + \dfrac{B{\red (p+2)}}{p-3}$\bigskip et enfin $\lim\limits_{p\to-2} (p+2)G(p) = \dfrac{3}{-5} = A+0$ donc $\fbox{$A = \frac{-3}{5} $} $\vskip 1cm Pour trouver B, associé à $(p-3)$ on multiplie $G(p)$ par $(p-3)$ on simplifie et on fait tendre $p$ vers $ 3 $ On obtient : ${\red (p-3)} G(p) = \dfrac{(p+5){\red (p-3)}}{(p+2)(p-3)} = \dfrac{A{\red (p-3)}}{(p+2)} + \dfrac{B{\red (p-3)}}{p-3}$\bigskip puis $(p-3) G(p) = \dfrac{p+5}{(p+2)} = \dfrac{A(p-3)}{(p+2)}+ B$\bigskip et enfin $\lim\limits_{p\to3} (p-3)G(p) = \dfrac{8}{5} = 0+B$ donc $\fbox{$ B = \frac{8}{5} $} $\bigskip On a établi que : $ G(p) = \dfrac{p+5}{(p+2)(p-3)} = \dfrac{ \frac{-3}{5} }{p+2}+\dfrac{ \frac{8}{5} }{p-3}$ } \vskip 0.5cm En indiquant la méthode employée, dessiner le graphe de $f(t) = (t-1)U(t-1)-(t-3)U(t-3)$ \vskip 0.5cm {\red Si $t<1$ alors $U(t-1) = U(t-3)= 0$ donc $f(t) = (t-1)\times 0-(t-3)\times 0 = 0-0 = 0$ Si $1\leqslant t<3$ alors $U(t-1) = 1$ et $U(t-3)= 0$ donc $f(t) = (t-1)\times 1-(t-3)\times 0 = t-1-0 = t-1$ Si $3\leqslant t$ alors $U(t-1) = U(t-3)= 1$ donc $f(t) = (t-1)\times 1-(t-3)\times 1 = t-1-t+3 = 2$ on a donc le dessin suivant : \psset{xunit=1cm,yunit=1cm, algebraic=true,dimen=middle, dotsize=3pt 0,linewidth=1pt, arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \hfil\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(5.6,2.5) \psgrid[gridcolor=lightgray,subgriddiv=2,gridlabels=0] \psaxes[showorigin=false,labelFontSize=\scriptstyle, xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1, ticksize=-2pt 0,subticks=2] {->}(0,0)(-0.5,-0.5)(5.5,2.5)[$t$,-120][$f(t)$,330] \rput(-0.2,-0.3){\scriptsize 0} \psline[linecolor=red,linewidth=2pt](-3,0)(1,0)(3,2)(6,2) \end{pspicture*} } \vskip 0.5cm Simplifier l'expression $f(t) = 2t U(t) + (t-3)U(t-1) + (t+4)U(t-3)$ pour $t\in[1;3[$ {\red Sur $[1;3[$, on a : $U(t) = U(t-1) = 1$ et $U(t-3)=0$ donc $f(t) = 2t \times 1\quad +\quad(t-3)\times 1 \quad +\quad (t+4)\times 0 \quad =\quad 2t+t-3 \quad =\quad 3t-3$} \newpage % ######################################################################################################### Décomposer en éléments simples la fraction suivante : $F(p) = \dfrac{p-2}{(p-1)(p+3)}$ \vskip 0.2cm {\red Pour trouver A, associé à $(p-1)$ on multiplie $G(p)$ par $(p-1)$ on simplifie et on fait tendre $p$ vers $1$ On obtient : ${\red (p-1)} G(p) = \dfrac{(p-2){\red (p-1)}} {(p-1)(p+3)} = \dfrac{A{\red (p-1)}}{(p-1)} + \dfrac{B{\red (p-1)}}{p+3}$\bigskip puis $(p-1) G(p) = \dfrac{p-2}{p+3} = A + \dfrac{B{\red (p-1)}}{p+3}$\bigskip et enfin $\lim\limits_{p\to1} (p-1)G(p) = \dfrac{-1}{4} = A+0$ donc $\fbox{$A = \frac{-1}{4} $} $\bigskip Pour trouver B, associé à $(p+3)$ on multiplie $G(p)$ par $(p+3)$ on simplifie et on fait tendre $p$ vers $ -3 $ On obtient : ${\red (p+3)} G(p) = \dfrac{(p-2){\red (p+3)}}{(p-1)(p+3)} = \dfrac{A{\red (p+3)}}{(p-1)} + \dfrac{B{\red (p+3)}}{p+3}$\bigskip puis $(p+3) G(p) = \dfrac{p-2}{(p-1)} = \dfrac{A(p+3)}{(p-1)}+ B$\bigskip et enfin $\lim\limits_{p\to-3} (p+3)G(p) = \dfrac{-5}{-4} = 0+B$ donc $\fbox{$ B = \frac{5}{4} $} $\bigskip On a établi que : $ G(p) = \dfrac{p-2}{(p-1)(p+3)} = \dfrac{ \frac{-1}{4} }{p-1}+\dfrac{ \frac{5}{4} }{p+3}$ } En indiquant la méthode employée, dessiner le graphe de $f(t) = (t-2)U(t-2)-(t-5)U(t-5)$ \vskip 0.2cm {\red Si $t<2$ alors $U(t-2) = U(t-5)= 0$ donc $f(t) = (t-2)\times 0-(t-5)\times 0 = 0-0 = 0$ Si $2\leqslant t<5$ alors $U(t-2) = 1$ et $U(t-5)= 0$ donc $f(t) = (t-2)\times 1-(t-5)\times 0 = t-2-0 = t-2$ Si $5\leqslant t$ alors $U(t-2) = U(t-5)= 1$ donc $f(t) = (t-2)\times 1-(t-5)\times 1 = t-2-t+5 = 3$ on a donc le dessin suivant : \psset{xunit=1cm,yunit=1cm, algebraic=true,dimen=middle, dotsize=3pt 0,linewidth=1pt, arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \hfil\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(7.6,3.5) \psgrid[gridcolor=lightgray,subgriddiv=2,gridlabels=0] \psaxes[showorigin=false,labelFontSize=\scriptstyle, xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1, ticksize=-2pt 0,subticks=2] {->}(0,0)(-0.5,-0.5)(7.5,3.5)[$t$,-120][$f(t)$,330] \rput(-0.2,-0.3){\scriptsize 0} \psline[linecolor=red,linewidth=2pt](-3,0)(2,0)(5,3)(8,3) \end{pspicture*} } \vskip 0.2cm Simplifier l'expression $f(t) = 2t U(t) - (2t-1)U(t-1) + (t+4)U(t-2)$ pour $t\in[1;2[$ \vskip 0.2cm {\red Sur $[1;2[$, on a : $U(t) = U(t-1) = 1$ et $U(t-2)=0$ donc $f(t) = 2t \times 1\quad -\quad(2t-1)\times 1 \quad +\quad (t+4)\times 0 \quad =\quad 2t-2t+1 \quad =\quad 1$} \newpage % ######################################################################################################### Décomposer en éléments simples la fraction suivante : $F(p) = \dfrac{p-3}{(p-2)(p+3)}$ \vskip 0.5cm {\red Pour trouver A, associé à $(p-2)$ on multiplie $G(p)$ par $(p-2)$ on simplifie et on fait tendre $p$ vers $2$ On obtient : ${\red (p-2)} G(p) = \dfrac{(p-3){\red (p-2)}} {(p-2)(p+3)} = \dfrac{A{\red (p-2)}}{(p-2)} + \dfrac{B{\red (p-2)}}{p+3}$\bigskip puis $(p-2) G(p) = \dfrac{p-3}{p+3} = A + \dfrac{B{\red (p-2)}}{p+3}$\bigskip et enfin $\lim\limits_{p\to2} (p-2)G(p) = \dfrac{-1}{5} = A+0$ donc $\fbox{$A = \frac{-1}{5} $} $\bigskip Pour trouver B, associé à $(p+3)$ on multiplie $G(p)$ par $(p+3)$ on simplifie et on fait tendre $p$ vers $ -3 $ On obtient : ${\red (p+3)} G(p) = \dfrac{(p-3){\red (p+3)}}{(p-2)(p+3)} = \dfrac{A{\red (p+3)}}{(p-2)} + \dfrac{B{\red (p+3)}}{p+3}$\bigskip puis $(p+3) G(p) = \dfrac{p-3}{(p-2)} = \dfrac{A(p+3)}{(p-2)}+ B$\bigskip et enfin $\lim\limits_{p\to-3} (p+3)G(p) = \dfrac{-6}{-5} = 0+B$ donc $\fbox{$ B = \frac{6}{5} $} $\bigskip On a établi que : $ G(p) = \dfrac{p-3}{(p-2)(p+3)} = \dfrac{ \frac{-1}{5} }{p-2}+\dfrac{ \frac{6}{5} }{p+3}$ } \vskip 0.5cm En indiquant la méthode employée, dessiner le graphe de $f(t) = t U(t)-(t- 3)U(t-3)$ \vskip 0.2cm {\red Si $t<0$ alors $U(t) = U(t-3)= 0$ donc $f(t) = t\times 0-(t-3)\times 0 = 0-0 = 0$ Si $0\leqslant t<3$ alors $U(t) = 1$ et $U(t-3)= 0$ donc $f(t) = t\times 1-(t-3)\times 0 = t-0 = t$ Si $3\leqslant t$ alors $U(t) = U(t-3)= 1$ donc $f(t) = t\times 1-(t-3)\times 1 = t-t+3 = 3$ on a donc le dessin suivant : \psset{xunit=1cm,yunit=1cm, algebraic=true,dimen=middle, dotsize=3pt 0,linewidth=1pt, arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \hfil\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(7.6,3.5) \psgrid[gridcolor=lightgray,subgriddiv=2,gridlabels=0] \psaxes[showorigin=false,labelFontSize=\scriptstyle, xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1, ticksize=-2pt 0,subticks=2] {->}(0,0)(-0.5,-0.5)(7.5,3.5)[$t$,-120][$f(t)$,330] \rput(-0.2,-0.3){\scriptsize 0} \psline[linecolor=red,linewidth=2pt](-3,0)(0,0)(3,3)(8,3) \end{pspicture*} } \vskip 0.2cm Simplifier l'expression $f(t) = t U(t) - 2(t-3)U(t-1) + (t+4)U(t-2)$ pour $t\in[1;2[$ \vskip 0.2cm {\red Sur $[1;2[$, on a : $U(t) = U(t-1) = 1$ et $U(t-2)=0$ donc $f(t) = t \times 1\quad -\quad2(t-3)\times 1 \quad +\quad (t+4)\times 0 \quad =\quad t-2t+6 \quad =\quad -t+6$} \newpage % ######################################################################################################### Décomposer en éléments simples la fraction suivante : $F(p) = \dfrac{p-1}{(p-4)(p+2)}$ \vskip 0.2cm {\red Pour trouver A, associé à $(p-4)$ on multiplie $G(p)$ par $(p-4)$ on simplifie et on fait tendre $p$ vers $4$ On obtient : ${\red (p-4)} G(p) = \dfrac{(p-1){\red (p-4)}} {(p-4)(p+2)} = \dfrac{A{\red (p-4)}}{(p-4)} + \dfrac{B{\red (p-4)}}{p+2}$\bigskip puis $(p-4) G(p) = \dfrac{p-1}{p+2} = A + \dfrac{B{\red (p-4)}}{p+2}$\bigskip et enfin $\lim\limits_{p\to4} (p-4)G(p) = \dfrac{3}{6} = A+0$ donc $\fbox{$A = \frac{1}{2} $} $\bigskip Pour trouver B, associé à $(p+2)$ on multiplie $G(p)$ par $(p+2)$ on simplifie et on fait tendre $p$ vers $ -2 $ On obtient : ${\red (p+2)} G(p) = \dfrac{(p-1){\red (p+2)}}{(p-4)(p+2)} = \dfrac{A{\red (p+2)}}{(p-4)} + \dfrac{B{\red (p+2)}}{p+2}$\bigskip puis $(p+2) G(p) = \dfrac{p-1}{(p-4)} = \dfrac{A(p+2)}{(p-4)}+ B$\bigskip et enfin $\lim\limits_{p\to-2} (p+2)G(p) = \dfrac{-3}{-6} = 0+B$ donc $\fbox{$ B = \frac{1}{2} $} $\bigskip On a établi que : $ G(p) = \dfrac{p-1}{(p-4)(p+2)} = \dfrac{ \frac{1}{2} }{p-4}+\dfrac{ \frac{1}{2} }{p+2}$ } \vskip 0.2cm En indiquant la méthode employée, dessiner le graphe de $f(t) = tU(t)-(t-2)U(t-2)$ \vskip 0.2cm {\red Si $t<0$ alors $U(t) = U(t-2)= 0$ donc $f(t) = t\times 0-(t-2)\times 0 = 0-0 = 0$ Si $0\leqslant t<2$ alors $U(t) = 1$ et $U(t-2)= 0$ donc $f(t) = t\times 1-(t-2)\times 0 = t-0 = t$ Si $3\leqslant t$ alors $U(t) = U(t-2)= 1$ donc $f(t) = t\times 1-(t-2)\times 1 = t-t+2 = 2$ on a donc le dessin suivant : \psset{xunit=1cm,yunit=1cm, algebraic=true,dimen=middle, dotsize=3pt 0,linewidth=1pt, arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \hfil\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(7.6,3.5) \psgrid[gridcolor=lightgray,subgriddiv=2,gridlabels=0] \psaxes[showorigin=false,labelFontSize=\scriptstyle, xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1, ticksize=-2pt 0,subticks=2] {->}(0,0)(-0.5,-0.5)(7.5,3.5)[$t$,-120][$f(t)$,330] \rput(-0.2,-0.3){\scriptsize 0} \psline[linecolor=red,linewidth=2pt](-3,0)(0,0)(2,2)(8,2) \end{pspicture*} } \vskip 0.2cm Simplifier l'expression $f(t) = 3t U(t) - (2t-3)U(t-1) + (t+4)U(t-5)$ pour $t\in[1;5[$ \vskip 0.2cm {\red Sur $[1;5[$, on a : $U(t) = U(t-1) = 1$ et $U(t-5)=0$ donc $f(t) = 3t \times 1\quad -\quad(2t-3)\times 1 \quad +\quad (t+4)\times 0 \quad =\quad 3t-2t+3 \quad =\quad -t+3$} \end{document}