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\documentclass[a4paper,12pt,x11names]{article}

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\def\ds{\displaystyle}

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\def\madate{Octobre 2026}

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\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{Cours\\Le second degré}}}}}
\rhead{\footnotesize \textsf{1\textsuperscript{ère} spé maths}}

\lfoot{\scriptsize\textsf{\textsc{Stéphane Le Méteil}}}
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				EXERCICE~\arabic{nexo}}}}\affichepoints{#1}\quad}

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\def\e{\text{e}}

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	\stepcounter{nf}
	\bigskip \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{$f_{\arabic{nf}}(x) = #1 $}}}}}}\quad}

\setlength{\parindent}{0mm}

\begin{document}%\everymath{\displaystyle}

\hfil{\Large Fonction du second degré}

\section{Définition}

On appelle fonction du second degré toutes les fonctions $f$ définies sur $\R$ par $$f(x) = ax^2+bx+c$$ où $a$, $b$ et $c$ sont des réels fixes et $a\neq 0$.\bigskip

Remarque : on dira aussi fonction trinôme du second degré ou simplement un polynôme du second degré.

Exemple $f(x) = 2x^2+3x+5$\quad on a : $\begin{cases}a=\\b=\\c=\end{cases}$\vskip -0.3cm

\hskip 3cm $f(x) = x^2-3x+4$\quad on a alors : $\begin{cases}a=\\b=\\c=\end{cases}$\vskip -0.3cm

\hskip 2cm $f(x) = x^2-4$\quad on a alors : $\begin{cases}a=\\b=\\c=\end{cases}$\vskip -0.3cm

\hskip 3cm $f(x) = (x+2)(x-3)$\quad on a alors : $\begin{cases}a=\\b=\\c=\end{cases}$


\section{Forme canonique}

Soit $P$ une fonction polynôme du second degré définie par $P(x) = ax^2+bx+c$ où $a$, $b$, $c\in\R$ et $a\neq0$

{\doublespacing

On a $P(x) = a\left({\red x^2+\dfrac{b}{a}x}+\dfrac{c}{a}\right)$ en factorisant artificiellement par $a$\\

puis $P(x) = a\left[{\blue \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2}+\dfrac{c}{a}\right]$ en remarquant que ${\blue (A+B)^2-B^2}\quad=\quad {\red A^2+2AB}$\\

enfin $P(x) = a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2+\dfrac{4ac}{4a^2}\right]$ en mettant au même dénominateur\\

puis $P(x) = a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}\right]$ car $-(A-B) = -A+B$\\

On peut alors écrire $P(x) = a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2-4ac}{4a}$\\

\bigskip\goodbreak

Pour faciliter la lecture, on a l'habitude de poser : 

\hfil $\Delta = b^2-4ac$,\quad $\alpha = \dfrac{-b}{2a}$ et \quad $\beta = -\,\dfrac{b^2-4ac}{4a} = \dfrac{-\Delta}{4a}$\bigskip

L'expression s'écrit alors : $\boxed{\tvi P(x) = ax^2+bx+c = a(x-\alpha)^2+\beta}$

}

\section{Factorisation}

On a démontré plus haut que $P(x) = a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}\right] = a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{(2a)^2}\right]$

{\doublespacing

$\bullet$ Si $\Delta\geqslant 0$ alors $\sqrt{\Delta}$ existe dans $\R$ et $\left(\sqrt{\Delta}\right)^2 = \Delta$

donc $P(x) = a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\left(\dfrac{\sqrt{\Delta}}{(2a)}\right)^2\right]$\bigskip

On doit reconnaître l'identité remarquable $A^2-B^2 = (A-B)\times (A+B)$ et on obtient : \\

$P(x) = a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)-\left(\dfrac{\sqrt{\Delta}}{(2a)}\right)\right]\times \left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)+\left(\dfrac{\sqrt{\Delta}}{(2a)}\right)\right]$\\\\

Ce que l'on peut écrire : $P(x) = a\left(x+\dfrac{b}{2a}-\dfrac{\sqrt{\Delta}}{(2a)}\right)\times \left(x+\dfrac{b}{2a}+\dfrac{\sqrt{\Delta}}{(2a)}\right)$\\

\bigskip

Là encore pour faciliter la lecture, on a l'habitude de poser: 

\hfil$x_1 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$

\bigskip

La factorisation est alors la suivante : $P(x) = ax^2+bx+c = \boxed{a(x-x_1)(x-x_2)}$

\vskip 0.5cm

Remarque dans le produit l'ordre des facteurs $(x-x_1)$ et $(x-x_2)$ n'importe pas. Les noms $x_1$ et $x_2$ sont interchangeables.

\bigskip

Exemple : 

\vskip 3.5cm

$\bullet$ Lorsque $\Delta = 0$ on a  $x_1 = x_2 = \dfrac{-b}{2a}$ est noté $x_0$ et la factorisation s'écrit : 

\hfill$P(x) = \boxed{a(x-x_0)^2}$

\vskip 0.5cm

Exemple : 

\vskip 3.5cm

$\bullet$ Lorsque $\Delta < 0$, le terme $\sqrt{\Delta}$ n'a plus de sens chez les réels et \fbox{la factorisation dans $\R$ échoue.}

}

\vskip 0.5cm

Exemple : 

\vskip 3.5cm

\section{Résolution de $ax^2+bx+c=0$}

Soit $P$ une fonction polynôme du second degré définie par $P(x) = ax^2+bx+c$ où $a$, $b$, $c\in\R$ et $a\neq0$. D'après ce qui précède, 

{\doublespacing

\bigskip

$\bullet$ si $\Delta >0$ on a : $P(x) = a(x-x_1)(x_x-2)$ 

donc $ax^2+bx+c=0$\quad équivaut à\quad $a\times (x-x_1)\times (x-x_2) = 0$\quad  qui est un produit nul 

or $a\neq 0$ donc $(x-x_1) = 0$ ou $(x-x_2) = 0$

donc $ax^2+bx+c = 0$ équivaut à $x=x_1$ ou $x=x_2$

On retient : \medskip

\hfil \fbox{$ax^2+bx+c=0$\qquad  a pour solutions $\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ \qquad lorsque $\Delta = b^2-4ac>0$}

\vskip 0.5cm

Exemple : 

\vskip 3.5cm

$\bullet$ si $\Delta =0$ on a : $P(x) = a(x-x_0)^2$ 

donc $ax^2+bx+c=0$ équivaut à $a\times (x-x_0)^2 = 0$ qui est un produit nul 

or $a\neq 0$ donc $(x-x_0) = 0$ 

donc $ax^2+bx+c = 0$ équivaut à $x=x_0$

On retient : \medskip

\hfil \fbox{$ax^2+bx+c=0$\qquad  a pour seule solution $\dfrac{-b}{2a}$ \qquad lorsque $\Delta = b^2-4ac=0$}

\vskip 0.5cm

Exemple : 

\vskip 3.5cm

$\bullet$ si $\Delta <0$, puisque l'on a $P(x) = a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a^2}\right]$ avec un $-\,\dfrac{\Delta}{4a^2}$ qui est strictement positif, le contenu du crochet reste aussi strictement positif et $P(x) = 0$ n'a pas de solution réelle.

\vskip 0.5cm

On retient : \medskip

\hfil \fbox{\tvi $ax^2+bx+c=0$\qquad  n'a pas de solution réelle \qquad lorsque $\Delta = b^2-4ac<0$}

Exemple : 

\vskip 3.5cm

}

\section{Signe}

Soit $P$ une fonction polynôme du second degré définie par $P(x) = ax^2+bx+c$ où $a$, $b$, $c\in\R$ et $a\neq0$. D'après ce qui précède, 

\bigskip

\fbox{si $\Delta >0$}\bigskip

 on a : $P(x) = a(x-x_1)(x_x-2)$ (on suppose par la suite que $x_1<x_2$)\bigskip

on peut alors établir le tableau de signe suivant : \bigskip


\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\hfil Pour $a>0$, 

\hfil \begin{tikzpicture}[scale=0.5]\scriptsize
	\tkzTabInit[lgt=4]{$x$ / 1 , $a$/1, $x-x_1$ / 1, $x-x_2$/1, $ax^2+bx+c$/1.5}{$~-\infty$, $x_1$, $x_2$, $+\infty~$}
	\tkzTabLine{,+, t, +,t,+, }
	\tkzTabLine{,-, z, +,t,+, }
	\tkzTabLine{,-, t, -,z,+, }
	\tkzTabLine{,+, z, -,z,+, }
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
	\hfil Pour $a<0$, 
	
	\hfil \begin{tikzpicture}[scale=0.5]\scriptsize
		\tkzTabInit[lgt=4]{$x$ / 1 , $a$/1, $x-x_1$ / 1, $x-x_2$/1, $ax^2+bx+c$/1.5}{$~-\infty$, $x_1$, $x_2$, $+\infty~$}
		\tkzTabLine{,-, t, -,t,-, }
		\tkzTabLine{,-, z, +,t,+, }
		\tkzTabLine{,-, t, -,z,+, }
		\tkzTabLine{,-, z, +,z,-, }
	\end{tikzpicture}
\end{minipage}

\bigskip

On peut retenir : \bigskip

	\hfil \begin{tikzpicture}[scale=1.1]\small
		\tkzTabInit[lgt=4]{$x$ / 1 , $ax^2+bx+c$/1.5}{$~-\infty$, $x_1$, $x_2$, $+\infty~$}

		\tkzTabLine{,\text{signe de a}, z, \text{signe de - a},z,\text{signe de a}, }
	\end{tikzpicture}

\vskip 1cm

\fbox{si $\Delta =0$}\bigskip

 on a : $P(x) = a(x-x_0)^2$ \bigskip
 
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
	\hfil Pour $a>0$, 
	
	\hfil \begin{tikzpicture}[scale=0.5]\scriptsize
		\tkzTabInit[lgt=4]{$x$ / 1 , $a$/1, $(x-x_0)^2$ / 1, $ax^2+bx+c$/1.5}{$~-\infty$, $x_0$,  $+\infty~$}
		\tkzTabLine{,+, t, +, }
		\tkzTabLine{,+, z, +, }
    	\tkzTabLine{,-, z, +, }
	\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
	\hfil Pour $a<0$, 
	
	\hfil \begin{tikzpicture}[scale=0.5]\scriptsize
	\tkzTabInit[lgt=4]{$x$ / 1 , $a$/1, $(x-x_0)^2$ / 1, $ax^2+bx+c$/1.5}{$~-\infty$, $x_0$,  $+\infty~$}
	\tkzTabLine{,-, t, -, }
	\tkzTabLine{,+, z, +, }
	\tkzTabLine{,-, z, -, }
	\end{tikzpicture}
\end{minipage}

\bigskip

On peut retenir : \bigskip

\hfil \begin{tikzpicture}[scale=1.1]\small
	\tkzTabInit[lgt=4]{$x$ / 1 ,$ax^2+bx+c$/1.5}{$~-\infty$, $x_0$, $+\infty~$}
	\tkzTabLine{,\text{signe de a}, z, \text{signe de a}, }
\end{tikzpicture}

\goodbreak \vskip 1cm

\fbox{si $\Delta <0$} on a : $P(x) = ax^2+bx+c$ ne s'annule pas et est continue, donc garde un signe constant indépendamment de $x$, on calcule par exemple $P(0) =c$ pour le connaître.

\bigskip

\hfil \begin{tikzpicture}[scale=1.1]\small
	\tkzTabInit[lgt=4]{$x$ / 1 ,$ax^2+bx+c$/1.5}{$~-\infty$,  $+\infty~$}
	\tkzTabLine{,\text{signe de a}, }
\end{tikzpicture}

\vskip 1cm

On peut retenir que $ax^2+bx+c$ est du signe de $a$ sauf entre ses racines éventuelles.

\section{Représentation graphique}

\subsection{Fonction 'carrée'}

La représentation graphique de la fonction carrée est une parabole.\bigskip

\begin{minipage}{0.25\linewidth}
\hfil\begin{pspicture}(-2,-1)(2,5)
	\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm,algebraic=true}
	\def\f{x*x}
	\psgrid[gridcolor=lightgray,subgriddiv=2,gridlabels=0]
	\psaxes[showorigin=false]{->}(0,0)(-1.9,-0.9)(2,4.9)[$x$,-120][$y$,-150]
	\psplot[linecolor=red,linewidth=1.5pt]{-2}{2}{\f}
	\rput(-0.2,-0.3){\scriptsize 0}
\end{pspicture}
\end{minipage}\quad
\begin{minipage}{0.70\linewidth}
{\bf Parité}  : pour tout $x\in\R$, on a : \\

$f(-x) = (-x)^2 = x^2=f(x)$ \\

donc $f$ est une fonction paire, donc son graphe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées

\bigskip

{\bf Variations} : pour tout $0<x_1<x_2$ on a :\\

$ f(x_2)-f(x_1) = x_2^2-x_1^2 = (x_2-x_1)(x_2+x_1)>0$ \\

donc $f$ est strictement croissante sur $\R^+$.

Par symétrie, elle est donc strictement décroissante sur $\R^-$

\end{minipage}

\vskip 0.3cm

{\bf Minimum} : d'après ce qui précède $f$ admet un minimum en $x=0$ 

dont la valeur est $y=f(0) = 0^2 = 0$

\vskip 0.5cm%\eject % ##################################################################################################

\subsection{Généralisation}

En utilisant ce qui précède on prouve que la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = a\times x^2$ a pour graphe  :

\hfil une {\bf parabole} orientée "vers le haut" lorsque $a>0$\bigskip

\hfil une {\bf parabole} orientée "vers le bas" lorsque $a<0$

\hfil\begin{minipage}{0.35\linewidth}
	\begin{pspicture*}(-2,-1)(5,5)
		\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm,algebraic=true}
		\def\f{x*x-3*x+2}
		\psgrid[gridcolor=lightgray,subgriddiv=2,gridlabels=0]
		\psaxes[showorigin=false]{->}(0,0)(-1.9,-0.9)(5,4.9)[$x$,-120][$y$,-150]
		\psplot[linecolor=red,linewidth=1.5pt]{-0.8}{3.8}{\f}
		\rput(-0.2,-0.3){\scriptsize 0}
	\end{pspicture*}
	
	\hfil avec $a>0$
\end{minipage}	\hfil
\begin{minipage}{0.35\linewidth}
	\begin{pspicture}(-2,-1)(5,5)
		\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm,algebraic=true}
		\def\f{-x*x+4*x-1}
		\psgrid[gridcolor=lightgray,subgriddiv=2,gridlabels=0]
		\psaxes[showorigin=false]{->}(0,0)(-1.9,-0.9)(5,4.9)[$x$,-120][$y$,-150]
		\psplot[linecolor=red,linewidth=1.5pt]{0}{4}{\f}
		\rput(-0.2,-0.3){\scriptsize 0}
	\end{pspicture}
	
	\hfil avec $a<0$
\end{minipage}

\bigskip

Soit $f$ une fonction polynôme du second degré définie par $f(x) = ax^2+bx+c$ où $a$, $b$, $c\in\R$ et $a\neq0$, on a démontré que : $P(x) = ax^2+bx+c = a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $\alpha= \dfrac{-b}{2a}$ et $\beta = -\dfrac{\Delta}{4a}$\bigskip

Cette fonction admet un {\bf extremum} pour $x=\alpha$ dont la valeur est $y=\beta$\bigskip

C'est un minimum lorsque $a>0$ et un maximum lorsque $a<0$.\bigskip

\end{document}