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% Classe de document
% =========================================================
\documentclass[a4paper,12pt,x11names]{article}

% =========================================================
% Encodage, langue
% =========================================================
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[french]{babel}
\frenchbsetup{StandardLists=true}

% =========================================================
% Mathématiques
% =========================================================
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{dsfont}

\newcommand{\R}{\mathds{R}}
\newcommand{\N}{\mathds{N}}
\newcommand{\Z}{\mathds{Z}}
\newcommand{\C}{\mathds{C}}

\def\ds{\displaystyle}

% =========================================================
% Mise en page générale
% =========================================================
\usepackage[left=2cm,right=1.5cm,top=2.5cm,bottom=2.5cm]{geometry}

\setlength{\parindent}{0pt}
\hyphenpenalty=10000

% =========================================================
% En-têtes et pieds de page
% =========================================================
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}

\setlength{\headheight}{40pt}
\setlength{\footskip}{18pt}
\renewcommand{\headrulewidth}{1pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0pt}

% =========================================================
% Tableaux
% =========================================================
\usepackage{array}
\usepackage{tabularx}
\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}}

% =========================================================
% Colonnes, listes, divers
% =========================================================
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnseprule}{0.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

\usepackage{enumerate}
\usepackage{setspace}
\usepackage[np]{numprint}
\DecimalMathComma

\usepackage{eurosym}

% =========================================================
% Graphiques
% =========================================================
\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{tikz}

% =========================================================
% Macros utilitaires
% =========================================================
\def\tvi{\vrule height 20pt depth 20pt width 0pt}

% =========================================================
% Paramètres document
% =========================================================
\def\monnumero{1}
\def\madate{Septembre 2026}

% =========================================================
% En-tête / pied de page
% =========================================================
\lhead{\footnotesize\textsf{Lycée Schuman Perret\\ \madate}}
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{Devoir surveillé No~\monnumero}\\1ère G}}}}
\rhead{}

\fancypagestyle{premierepage}{
	\fancyhf{}
	\lhead{\footnotesize\textsf{Lycée Schuman Perret\\ \madate}}
	\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{Contrôle N°~\monnumero}\\1ère Spé maths.}}}}
	\rhead{Nom :\begin{minipage}{4cm}\dotfill\end{minipage}\\~\\
		Prénom :\begin{minipage}{4cm}\dotfill\end{minipage}}
}

\lfoot{\scriptsize\textsf{\textsc{Stéphane Le Méteil}}}
\rfoot{\scriptsize\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}

% =========================================================
% Environnements Exercices
% =========================================================
\newcounter{nexo}
\setcounter{nexo}{0}

\newcounter{ncor}
\setcounter{ncor}{0}

\newcommand{\affichepoints}[1]{%
	\reversemarginpar
	\if\relax\detokenize{#1}\relax
	\else
	\marginpar{%
		\hspace*{0.5cm}\footnotesize#1%
		\ifdim#1pt>1pt
		\tiny{pts}%
		\else
		\tiny{pt}%
		\fi
	}%
	\fi
}

\newcommand{\points}[1]{\hskip -1.5cm {\blue\tiny #1}\hskip 1.cm}

\newcommand{\exo}[1]{%
	\bigskip
	\stepcounter{nexo}
	\vskip0.3cm
	\par
	\noindent
	\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{\small EXERCICE~\arabic{nexo}}}}
	\affichepoints{#1}
	\quad
}

\newcommand{\cor}[1]{%
	\bigskip
	\stepcounter{ncor}
	\vskip0.3cm
	\par
	\noindent
	\textsf{\textbf{\textcolor{red}{\small CORRIGÉ~\arabic{ncor}}}}
	\affichepoints{#1}
	\quad
}

% =========================================================
% OUTILS
% =========================================================
\usepackage{pgf}
\usepackage{multicol}

\def\e{\text{e}}

% =========================================================
% Document
% =========================================================

\begin{document}
	
	\doublespacing
	
	\thispagestyle{premierepage}
	
	\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{\small Soin : }}}
	écriture lisible, régulière, traits au crayon et à la règle,
	exercices séparés clairement.
	\affichepoints{2}
	
	
	\exo{3}
	À l'aide de la calculatrice, donner la valeur exacte de $U_{5}$
	dans les trois cas suivants :
	
	\begin{enumerate}
		\item En sachant que $U_n=2n+3$.
		
		\item En sachant que $U_0=2$ et
		$U_{n+1}=2U_n+1$.
		
		\item En sachant que $U_0=1$ et
		$U_{n+1}=3U_n+n-2$.
	\end{enumerate}
	
	
	\exo{4} Pour tout $n\in\N$, on donne : $U_n=4n+7$
	
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $U_0$, $U_1$, $U_2$ et $U_3$.
		
		\item Exprimer $U_{n+1}$ en fonction de $n$.
		
		\item En déduire que $U_{n+1}-U_n=4$.
		
		\item À quelle famille appartient cette suite $(U_n)$ ?
		Quelle est sa raison ?
		\item \'Ecrire alors sa définition récursive.
	\end{enumerate}
	
	
	\exo{3}
	Sachant que $U$ est arithmétique, que $U_4=25$
	et que $U_9=85$,
	
	\begin{enumerate}
		\item Rappeler la définition explicite ou directe d'une suite arithmétique.
		\item Montrer que $R=12$ puis calculer $U_0$.
		
		\item Montrer que $U_{30}=337$.
		
		\item Combien y a-t-il de termes de $U_0$ à $U_{30}$ ?
		
		\item En déduire la valeur exacte de la somme $S=U_0+\cdots+U_{30}.$
	\end{enumerate}
	
	
	\eject
	
	
	\exo{4}
	On considère la suite définie sur $\N$ par $U_0=2$ et $U_{n+1}=\dfrac12U_n+7$
	
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $U_1$ et $U_2$.
		
		\item Expliquer pourquoi la suite n'est ni arithmétique
		ni géométrique.
		
		\item On pose, pour tout $n\in\N$,\quad $V_n=U_n-14$
		Montrer que la suite $(V_n)$ est géométrique.
		Donner sa raison et son premier terme $V_0$.
		
		\item Pour tout $n\in\N$, écrire $V_n$ puis $U_n$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate}
	
	
	\exo{4}
	
	Dans un lycée, on dispose au 1\ier{} septembre 2026
	d'un stock de $500$ manuels scolaires.
	
	Chaque année :
	
	\begin{list}{\textbullet}{}
		\item $10\,\%$ des manuels sont retirés du stock car ils sont
		trop anciens ou trop abîmés ;
		
		\item le lycée achète ensuite $100$ nouveaux manuels.
	\end{list}
	
	On modélise la situation par une suite $(u_n)$ où, pour tout
	entier naturel $n$, $u_n$ représente le nombre de manuels
	disponibles au 1\ier{} septembre de l'année $(2026+n)$.
	
	On obtient ainsi une suite $(u_n)$ telle que :
	
	\hfil $u_0=500$ et $	u_{n+1}=0,9u_n+100$	pour tout entier naturel $n$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
		
		Combien de manuels seront disponibles au
		1\ier{} septembre 2027 ?
		
		\item On définit la suite $(v_n)$ par $	v_n=u_n-1000 $ pour tout entier naturel $n$.
		
		\begin{enumerate}
			\item Montrer que $	v_{n+1}=0,9v_n $
			En déduire la famille à laquelle appartient la suite $(v_n)$.
			On précisera sa raison et son premier terme $v_0$.
			
			\item Donner la définition directe de la suite $(v_n)$.
			
			\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$ : $u_n=1000-500\times0,9^n$
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{document}