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% Classe de document
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\documentclass[a4paper,12pt,x11names]{article}

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% Encodage, langue
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% Mathématiques
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% Mise en page générale
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% En-têtes et pieds de page
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% Tableaux
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% Colonnes, listes, divers
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% Paramètres document
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\def\monnumero{1}
\def\madate{Septembre 2026}

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% En-tête / pied de page
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\lhead{\footnotesize\textsf{Lycée Schuman Perret\\ \madate}}
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{Devoir surveillé No~\monnumero}\\1ère G}}}}
\rhead{Corrigé}

\fancypagestyle{premierepage}{
	\fancyhf{}
	\lhead{\footnotesize\textsf{Lycée Schuman Perret\\ \madate}}
	\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{Contrôle N°~\monnumero}\\1ère Spé maths.}}}}
	\rhead{Nom :\begin{minipage}{4cm}\dotfill\end{minipage}\\~\\
		Prénom :\begin{minipage}{4cm}\dotfill\end{minipage}}
}

\lfoot{\scriptsize\textsf{\textsc{Stéphane Le Méteil}}}
\rfoot{\scriptsize\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}

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% Environnements Exercices
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\newcommand{\affichepoints}[1]{\reversemarginpar\if\relax\detokenize{#1}\relax\else\marginpar{\hspace*{0.5cm}\footnotesize#1\ifdim#1pt>1pt  \tiny{pts}\else \tiny{pt}\fi}\fi}

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\newcommand{\exo}[1]{\bigskip\stepcounter{nexo}\vskip0.3cm\par\noindent\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{\small 
				EXERCICE~\arabic{nexo}}}}\affichepoints{#1}\quad}

\newcommand{\cor}[1]{\bigskip\stepcounter{ncor}\vskip0.3cm\par\noindent\textsf{\textbf{\textcolor{red}{\small CORRIGÉ~\arabic{ncor}}}}\affichepoints{#1}\quad}

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% OUTILS
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\def\e{\text{e}}

\begin{document}
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\onehalfspacing
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\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{\small Soin : }}} écriture lisible, régulière, traits au crayon et à la règle, exercices séparés clairement.\affichepoints{2}

\exo{3} A l'aide de la calculatrice donner la valeur exacte de $U_{5}$ dans les trois cas suivants : 

\begin{enumerate}
	\item En sachant que $U_{n} = 3n+1$
	
	{\red On a : $U_5 = 3\times 5+1 = 15+1 = 16$}
	
	\item En sachant que $U_0=1$ et $U_{n+1} = 2U_n+3$
	
	{\red On doit calculer les termes précédents : $U_1 = 2\times1+3 = 5$ puis $U_2 = 2\times5+3 = 13$ puis $U_3 = 2\times13+3 = 29$ puis $U_4 = 2\times29+3 = 61$ et enfin $U_5 = 2\times61+3 = 125$}
	
	\item En sachant que $U_0=0$ et $U_{n+1} = 3U_n+2n+1$
	
	{\red On doit calculer les termes précédents mais c'est un peu plus subtil : 
		
		$U_1 = U_{0+1} = 3\times0+2\times0+1 = 1$
		
		$U_2 = U_{1+1} = 3\times1+2\times1+1 = 6$
		
		$U_3 = U_{2+1} = 3\times6+2\times2+1 = 23$
		
		$U_4 = U_{3+1} = 3\times23+2\times3+1 = 76$
		
		$U_5 = U_{4+1} = 3\times76+2\times4+1 = 237$ }
	\end{enumerate}


\exo{4} 	Pour tout $n\in\N$, on donne : $U_n = 5n+4$

\begin{enumerate}
	\item Calculer $U_0$,\quad $U_1$,\quad $U_2$,\quad $U_3$.
	
	{\red $U_0 = 5\times0+4 = 4$, \quad $U_1 = 5\times1+4 = 9$, \quad $U_2 = 5\times2+4 = 14$, \quad $U_3 = 5\times3+4 = 19$ }
	
	\item Exprimer $U_{n+1}$ en fonction de $n$
	
	{\red $U_{n+1} = 5\times (n+1) + 4 = 5n+5+4 = 5n+9$}
	
	\item En déduire que $U_{n+1}-U_n = 5$
	
	{\red $U_{n+1}-U_n = (5n+9)-(5n+4) = 5n+9-5n-4 = 5$ }
	
	\item A quelle famille appartient cette suite $(U_n)$ ? Quelle est sa raison ?
	
	{\red Puisque pour tout entier naturel $n$, on a : $U_{n+1}-U_n = 5$ la suite $U$ est arithmétique, de raison 5}
	
	\item \'Ecrire alors sa définition récursive.
	
	{\red Sa définition récursive est alors $U_0 = 4$ et pour tout entier naturel $n$, $U_{n+1} = U_n+5$}
	
\end{enumerate}

\goodbreak


\exo{3} Sachant que $U$ est arithmétique, que $U_5 = 45$ et que $U_{10} = 125$, 

\begin{enumerate}
	\item Rappeler la définition explicite ou directe d'une suite arithmétique.
	
	{\red Dans le cours, cette définition est : pour tout entier naturel $n$,\quad $U_n = U_0+n\times R$}
	
	\item Montrer que $R=16$ puis calculer $U_0$ 
	
	{\red Comme $U_{10} = 125$ cela donne $U_{0} +10R = 125$ donc  $U_{0} = 125 -10R$
	
	Comme $U_{5} = 45$ cela donne $U_{0} +5R = 45$ donc $U_0=45-5R$
	
	On a donc l'égalité $125 -10R = 45 -5R$ donc $125-45 = -5R+10R$ donc $5R = 80$ donc $R = \frac{80}{5}$ c'est à dire $R=16$
	
	Comme on avait $U_{0} = 125 -10R$ cela donne $U_{0} = -35$
	
	}
	
	\item Montrer que $U_{32}=477$
	
	{\red Puisque pour tout entier naturel $n$,\quad $U_n = U_0+n\times R$, cela donne : $U_{32} = -35+32\times 16$ donc $U_{32} = 477$}
	
	\item Combien y a-t-il de termes de $U_0$ à $U_{32}$ ? 
	
	{\red Comme on commence à compter à partir de 0, il y a 33 termes.}
	
	\item En déduire la valeur exacte de la somme $S=U_0+\cdots+U_{32}$
	
	{\red D'après le cours, $S=\dfrac{\text{premier}+\text{dernier}}{2}\times{nb de termes}$
		
		cela donne $S = \dfrac{-35+477}{2}\times 33 =7293$
	}
	
\end{enumerate}


\exo{4} On considère la suite définie sur $\N$ par $U_0=3$ et $U_{n+1} = \dfrac13U_n+8$.

\begin{enumerate}
	\item Calculer $U_1$ et $U_2$.
	
	{\red On calcule $U_1=\frac13\times 3+8 = 1+8 = 9$ et $U_2 = \frac13\times9 + 8 = 3+8 = 11$}
	
	\item Expliquer pourquoi la suite n'est ni arithmétique ni géométrique.
	
	{\red $U_1-U_0 = 6$\quad et \quad $U_2-U_1 = 2$
	
	Ces nombres sont différents, la suite ne peut pas être arithmétique.
	
	$\dfrac{U_1}{U_0} = 3$\quad et \quad $\dfrac{U_2}{U_1} = \dfrac{11}{9}\approx1,2$
	
	Ces nombres sont différents, la suite ne peut pas être géométrique.}
	
	\goodbreak
	
	\item On pose pour tout $n\in\N$, $V_n = U_n-12$. Montrer que la suite $(V_n)$ est géométrique. Donner sa raison et son premier terme $V_0$
	
	{\red Pour tout entier naturel $n$, on a : 
	
	$V_{n+1} = U_{n+1}-12$\quad puis \quad $V_{n+1} = \dfrac13U_{n}+8-12$ donc $V_{n+1} = \dfrac13U_{n}-4$
	
	or $V_n = U_n-12$ donc $U_n = V_n+12$ donc $V_{n+1} = \dfrac13(V_n+12)-4$
	
	En développant cela donne : $V_{n+1} = \dfrac13V_n+4-4$ c'est à dire  $V_{n+1} = \dfrac13V_n$\medskip
	
	La suite $V$ est alors géométrique, de raison $q=\frac13$ et de premier terme $V_0 = U_0-12 = -9$
	
	}
	
	
	\item Pour tout $n\in\N$, écrire $V_n$ puis $U_n$ en fonction de $n$
	
	{\red D'après ce qui précède, pour tout entier naturel $n$, on a : $V_n = -9\times\left(\frac13\right)^n$
	
	or on a vu que $U_n = V_n+12$ donc $U_n = -9\times\left(\frac13\right)^n+12$
	
	}
	
	
\end{enumerate}

\exo{4} 	\bigskip

\begin{list}{\textbullet}{Au 1\ier{} janvier 2026, un arboriculteur possède \np{5000} pommiers. Chaque année:}
	\item il arrache $4\,\%$ des pommiers car ils sont endommagés;
	\item il replante $300$ nouveaux pommiers.
\end{list}

On modélise la situation par une suite $(u_n)$ où, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ représente le nombre de pommiers possédés par l'arboriculteur au 1\ier{} janvier de l'année $(2026 + n)$.\index{suite}

\smallskip

On obtient ainsi une suite $(u_n)$ telle que: $u_0 = \np{5000}$ et $u_{n+1} = 0,96u_n + 300$, pour tout entier naturel $n$.

\begin{enumerate}
	\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
	
	{\red On calcule $u_1 = 5100$ et $u_2 = 5196$}
	
	Combien de pommiers possèdera l'arboriculteur au 1\ier{} janvier 2027 ?
	
	{\red En 2027, on aura $n=1$ donc 5100 pommiers.}
	
	\eject %########################################################################################
	
	\item  On définit la suite $\left(v_n\right)$ par $v_n = u_n - \np{7500}$, pour tout entier naturel $n$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $v_{n+1} = 0,96v_n$ En déduire la famille à laquelle appartient la suite $(v_n)$. On précisera la raison et le premier terme $v_0$.
		
		{\red Pour tout entier naturel $n$, on a : $v_{n+1} = u_{n+1} - \np{7500}$
		
		\hskip 7cm $ = 0,96u_{n}+300 - \np{7500}$
		
		\hskip 7cm $ = 0,96u_{n} - \np{7200}$
		
		\hskip 7cm $ = 0,96(v_{n}+\np{7500}) - \np{7200}$
		
		\hskip 7cm $ = 0,96v_{n}+ \np{7200} - \np{7200}$
		
		\hskip 7cm $ = 0,96v_{n}$
		
		La suite $v$ est donc géométrique, 
		
		\hfil de raison $q=0,96$ et de 1er terme $v_0 = u_0-7500 =-2500$
		
		}
		
		\item  Donner la définition directe de la suite $(v_n)$.
		
		{\red D'après le cours, on a :  $v_n = -2500\times\left(0,96\right)^n$}
			
		\item  En déduire que, pour tout entier naturel $n$: $u_n = \np{7500} - \np{2500} \times  0,96^n$.
		
		{\red On a vu que $u_n = v_n+7500$ donc $u_n = 7500-2500\times0,96^n$}
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}


\end{document}