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% Classe de document
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\documentclass[a4paper,12pt,x11names]{article}

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% Encodage, langue
% =========================================================
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% Mathématiques
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\usepackage{dsfont}

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\def\ds{\displaystyle}

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% Mise en page générale
% =========================================================
\usepackage[left=2cm,right=1.5cm,top=2.5cm,bottom=2.5cm]{geometry}

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\hyphenpenalty=10000 % empêche la coupure de mots

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% En-têtes et pieds de page
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% Tableaux
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\usepackage{array}
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\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} % centrage vertical

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% Colonnes, listes, divers
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% Paramètres document
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\def\monnumero{1}
\def\madate{Septembre 2026}

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% En-tête / pied de page
% =========================================================
\lhead{\footnotesize\textsf{Lycée Schuman Perret\\ \madate}}
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{Série d'exercices No~\monnumero\\Second degré}}}}}
\rhead{\footnotesize \textsf{1\textsuperscript{ère}spé maths}}

\lfoot{\scriptsize\textsf{\textsc{Stéphane Le Méteil}}}
\rfoot{\scriptsize\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}

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% Environnements Exercices
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\newcounter{nexo}\setcounter{nexo}{0}
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\newcommand{\affichepoints}[1]{\reversemarginpar\if\relax\detokenize{#1}\relax\else\marginpar{\hspace*{0.5cm}\footnotesize#1\ifdim#1pt>1pt  \tiny{pts}\else \tiny{pt}\fi}\fi}

\newcommand{\points}[1]{\hskip -1.5cm {\blue\tiny #1}\hskip 1cm}

\newcommand{\exo}[1][]{\bigskip\stepcounter{nexo}\vskip0.0cm\par\noindent\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{\small 
				EXERCICE~\arabic{nexo}}}}\affichepoints{#1}\quad}

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%========================================
% OUTILS
%========================================

\usepackage{pgf}
\usepackage{multicol}
\def\e{\text{e}}

\begin{document}%\everymath{\displaystyle}

\exo{Lire les coefficients d'un trinôme}

Dans chacun des cas suivants, donner les valeurs de $a$, $b$ et $c$.

\begin{multicols}{2}
	\begin{itemize}
		\item $f(x)=3x^{2}-7x+5$
		\item $g(x)=-2x^{2}+4x$
		\item $h(x)=5x^{2}-3$
		\item $k(x)=-x^{2}+6x-8$
	\end{itemize}
\end{multicols}

\exo{Déterminer les coefficients d'un trinôme}

Développer et mettre sous la forme $a x^{2}+b x+c$ les fonctions suivantes, puis donner les valeurs de $a$, $b$ et $c$ :

\begin{multicols}{3}
\begin{itemize}
	\item $p(x)=x(6-4x)-1$
	\item $q(x)=(x+5)^{2}$
	\item $r(x)=(3x+1)(x-5)$
\end{itemize}
\end{multicols}

\exo{Déterminer la forme canonique}

Mettre chacune des fonctions suivantes sous forme canonique.

\begin{multicols}{2}
	\begin{itemize}
		\item $f(x)=x^{2}-6x+5$
		\item $g(x)=x^{2}+4x-1$
		\item $h(x)=2x^{2}-8x+3$
		\item $k(x)=-x^{2}+6x-2$
	\end{itemize}
\end{multicols}

\exo{Déterminer le sommet à partir de la forme canonique}

Pour chacune des fonctions suivantes, donner les valeurs de $\alpha$ et $\beta$, puis les coordonnées du sommet de la parabole représentative.

\begin{multicols}{2}
\begin{itemize}
	\item $f(x)=2(x-3)^{2}-5$
	\item $g(x)=-3(x+2)^{2}+4$
	\item $h(x)=(x-1)^{2}+7$
	\item $k(x)=-2(x+4)^{2}-3$
\end{itemize}
\end{multicols}



\exo{Exploiter la forme canonique}

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=2x^{2}-8x+6.$ 

\begin{enumerate}
	\item Déterminer la forme canonique de $f$.
	\item En déduire les coordonnées du sommet de la parabole représentative de $f$.
	\item La parabole est-elle tournée vers le haut ou vers le bas ?
	\item En déduire si $f$ admet un maximum ou un minimum.
\end{enumerate}


\exo{Déterminer les racines par la règle du produit nul}

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes d'inconnue $x$ avec la règle du produit nul.

\begin{multicols}{2}
\begin{itemize}
	\item $(x-4)(3x+1)=0$
	\item $(8x-2)^{2}=0$
	\item $x^{2}-25=0$
	\item $(2x-3)(x+5)=0$
\end{itemize}
\end{multicols}

\eject

\exo{Factoriser à partir de la forme canonique}

Factoriser les expressions suivantes.

\begin{multicols}{3}
\begin{itemize}
	\item $(x-3)^{2}-16$
	\item $2(x+1)^{2}-18$
	\item $-3(x-2)^{2}+12$
\end{itemize}
\end{multicols}

Pour chaque expression, vérifier le résultat en développant la forme factorisée.


\exo{Déterminer les racines avec le discriminant}

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes d'inconnue $x$ avec les formules de résolution d'une équation générale du second degré.

\begin{multicols}{2}
	\begin{itemize}
	\item $2x^{2}-3x-2=0$
	\item $x^{2}+4x+8=0$
	\item $3x^{2}-6x+3=0$
	\item $-2x^{2}+7x-3=0$
\end{itemize}
\end{multicols}



\exo{Choisir la méthode de résolution}

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes en choisissant la méthode qui vous paraît la plus adaptée.

\begin{multicols}{2}
	\begin{itemize}
	\item $(x-2)(x+7)=0$
	\item $x^{2}-16=0$
	\item $x^{2}-6x+9=0$
	\item $2x^{2}-5x+1=0$
\end{itemize}
\end{multicols}




\exo{Utiliser le théorème du signe d'un trinôme}

\begin{enumerate}
	\item Dans chaque cas, on donne le tableau de signes d'un trinôme $f(x)=ax^{2}+bx+c$. Déterminer le signe de $a$ et celui du discriminant $\Delta$.
	
	\begin{multicols}{2}
		
		\begin{itemize}[label={}, leftmargin=*, itemsep=1.5em]
			
			\item[a.] Trinôme $f$ :
			
			\medskip
			\begin{tikzpicture}[scale=0.75]
				\tkzTabInit[lgt=1.5,espcl=2.5]
				{$x$ /0.8, $f(x)$ /0.8}
				{$-\infty$, $-1$, $5$, $+\infty$}
				\tkzTabLine{ , +, z, -, z, +, }
			\end{tikzpicture}
			
			\item[b.] Trinôme $g$ :
			
			\medskip
			\begin{tikzpicture}[scale=0.75]
				\tkzTabInit[lgt=1.5,espcl=2.5]
				{$x$ /0.8, $g(x)$ /0.8}
				{$-\infty$, $12$, $20$, $+\infty$}
				\tkzTabLine{ , -, z, +, z, -, }
			\end{tikzpicture}
			
			\item[c.] Trinôme $h$ :
			
			\medskip
			\begin{tikzpicture}[scale=0.75]
				\tkzTabInit[lgt=1.5,espcl=2.5]
				{$x$ /0.8, $h(x)$ /0.8}
				{$-\infty$, $6$, $+\infty$}
				\tkzTabLine{ , -, z, -, }
			\end{tikzpicture}
			
			\item[d.] Trinôme $k$ :
			
			\medskip
			\begin{tikzpicture}[scale=0.75]
				\tkzTabInit[lgt=1.5,espcl=3.5]
				{$x$ /0.8, $k(x)$ /0.8}
				{$-\infty$, $+\infty$}
				\tkzTabLine{ , +, }
			\end{tikzpicture}
			
		\end{itemize}
		
	\end{multicols}
	
	\item Déterminer les racines puis dresser le tableau de signes du trinôme
	\[
	T(x)=-x^{2}+x+2.
	\]
\end{enumerate}


\exo{Étudier le signe d'un trinôme}

Étudier le signe des trinômes suivants et dresser leur tableau de signes.

\begin{multicols}{2}
\begin{itemize}
	\item $f(x)=x^{2}-5x+6$
	\item $g(x)=-x^{2}+5x-6$
	\item $h(x)=x^{2}+2x+5$
	\item $k(x)=x^{2}-6x+9$
\end{itemize}
\end{multicols}

\exo{Relier discriminant, racines et signe}

Pour chacune des fonctions suivantes :

\begin{multicols}{3}
	$f(x)=x^{2}+2x+5$\\
	$g(x)=x^{2}-6x+9$\\
	$h(x)=x^{2}-5x+6$
\end{multicols}


\begin{enumerate}
	\item Calculer le discriminant.
	\item Déterminer les éventuelles racines.
	\item Étudier le signe de la fonction.
	\item Dresser le tableau de signes.
\end{enumerate}

\exo{Lire des informations sur une représentation graphique}

On donne ci-dessous les représentations graphiques de trois fonctions du second degré.

Pour chacune des fonctions $f$, $g$ et $h$ :

\begin{enumerate}
	\item déterminer le signe de $a$ ;
	\item déterminer le signe du discriminant $\Delta$ ;
	\item résoudre graphiquement l'équation $f(x)=0$, $g(x)=0$ ou $h(x)=0$ ;
	\item donner les coordonnées du sommet $S(\alpha;\beta)$.
\end{enumerate}

\begin{center}
	% Première courbe : deux racines
	\begin{pspicture*}[unit=0.9cm](-1,-2.5)(5,4)
		\psaxes[Dx=1,Dy=1,showorigin=false]{->}(0,0)(-1,-2)(5,4)[$x$,-120][$y$,-150]
		\psplot[plotpoints=200,linecolor=blue]{-0.5}{4.5}{x x mul 4 x mul sub 3 add}
		\uput[ur](1,0){$1$}
		\uput[ul](3,0){$3$}
		\uput[dr](2,-1){$S$}
		\psdot[dotscale=1.3](2,-1)
	\end{pspicture*}
\quad
	% Deuxième courbe : racine double
	\begin{pspicture*}[unit=0.9cm](-1,-2.5)(5,4)
		\psaxes[Dx=1,Dy=1,showorigin=false]{->}(0,0)(-1,-2)(5,4)[$x$,-120][$y$,-150]
		\psplot[plotpoints=200,linecolor=blue]{-0.5}{4.5}{x x mul neg 4 x mul add 4 sub}
		\uput[dr](2,0.7){$S$}
	\end{pspicture*}
\quad
	% Troisième courbe : aucune racine
	\begin{pspicture*}[unit=0.9cm](-1,-3.5)(4,2)
		\psaxes[Dx=1,Dy=1,showorigin=false]{->}(0,0)(-1,-4)(4,2)[$x$,-120][$y$,-150]
		\psplot[plotpoints=200,linecolor=blue]{-0.5}{3.5}{x x mul neg 2 x mul add 3 sub}
		\uput[dr](1,-1.5){$S$}
		\psdot[dotscale=1.3](1,-2)
	\end{pspicture*}
	
\end{center}


\exo{Étudier une fonction du second degré}

On considère la fonction
\[
f(x)=x^{2}-4x+3.
\]

\begin{enumerate}
	\item Donner les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
	\item Calculer le discriminant.
	\item Déterminer les racines de $f$.
	\item Factoriser $f(x)$.
	\item Déterminer la forme canonique de $f$.
	\item Donner les coordonnées du sommet.
	\item Dresser le tableau de signes de $f$.
	\item Indiquer le sens d'ouverture de la parabole.
\end{enumerate}


\exo{Représentation graphique}

Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer les informations permettant de réaliser une représentation graphique :

\begin{multicols}{4}
	$f(x)=x^{2}-4x+3$\\
	$g(x)=-x^{2}+4x-3$\\
	$h(x)=x^{2}+2x+3$\\
	$k(x)=-x^{2}-2x-3$
\end{multicols}

Pour chacune :

\begin{enumerate}
	\item préciser le sens d'ouverture de la parabole ;
	\item déterminer les coordonnées du sommet ;
	\item déterminer les éventuels points d'intersection avec l'axe des abscisses ;
	\item déterminer les éventuels points d'intersection avec l'axe des ordonnées.
\end{enumerate}


\exo{Retrouver l'expression d'une fonction}

On considère une fonction du second degré dont la représentation graphique est une parabole.

Le sommet de la parabole est
\[
S(2;-3)
\]
et la parabole passe par le point
\[
A(0;5).
\]

\begin{enumerate}
	\item Déterminer la forme canonique de la fonction.
	\item Développer cette expression.
	\item Calculer le discriminant.
	\item Déterminer les éventuelles racines.
	\item Dresser le tableau de signes de la fonction.
\end{enumerate}


\eject

\exo{Étude complète d'un trinôme}

On considère la fonction
\[
f(x)=2x^{2}-8x+6.
\]

\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
	\item Identifier les coefficients $a$, $b$ et $c$.
	\item Déterminer la forme canonique de $f$.
	\item Donner les coordonnées du sommet.
	\item Calculer le discriminant.
	\item Résoudre l'équation $f(x)=0$.
	\item Factoriser $f(x)$.
	\item Étudier le signe de $f$.
	\item Dresser le tableau de variations de $f$.
	\item Représenter graphiquement $f$.
\end{enumerate}
\end{multicols}

\exo{Une question d'aire}

Un rectangle a un périmètre de $20$~cm. On note $x$ la longueur de l'un de ses côtés.

\begin{enumerate}
	\item Exprimer la longueur de l'autre côté en fonction de $x$.
	\item Montrer que l'aire du rectangle est donnée par
	\[
	A(x)=-x^{2}+10x.
	\]
	\item Déterminer la forme canonique de $A$.
	\item En déduire la valeur de $x$ pour laquelle l'aire est maximale.
	\item Donner cette aire maximale.
\end{enumerate}


\exo{Une trajectoire}

La hauteur, en mètres, d'une balle lancée verticalement est modélisée par la fonction
\[
h(t)=-5t^{2}+20t+1,
\]
où $t$ désigne le temps écoulé, en secondes, depuis le lancement.

\begin{enumerate}
	\item Quelle est la hauteur de la balle au moment du lancement ?
	\item Déterminer la hauteur maximale atteinte par la balle.
	\item À quel instant cette hauteur maximale est-elle atteinte ?
	\item Déterminer à quel instant la balle touche le sol.
\end{enumerate}


\exo{Un paramètre}

On considère la fonction définie sur $\R$ par \quad $f(x)=x^{2}-2x+m$ \quad où $m$ est un nombre réel.

On s'intéresse à l'équation $f(x)=0$

Déterminer les valeurs de $m$ pour lesquelles cette équation possède :

\begin{enumerate}
	\item deux solutions réelles distinctes ;
	\item une solution réelle double ;
	\item aucune solution réelle.
\end{enumerate}

\eject

\exo{Reconnaître une équation du second degré cachée}

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes en les ramenant,
lorsque cela est possible, à une équation du second degré.

\begin{multicols}{2}
	\begin{enumerate}
		\item $x^4-5x^2+4=0$
		
		\item $x+\dfrac{1}{x}=2$
		
		\item $x^3-3x^2-x+3=0$
		
		\item $(x^2-2x)^2-3(x^2-2x)-4=0$
	\end{enumerate}
\end{multicols}


\exo Une entreprise fabrique un engrais biologique liquide.

\begin{minipage}{10cm}
Chaque jour, le volume d'engrais liquide fabriqué est compris entre \np[m^3]{5}  et \np[m^3]{60}.

Le coût moyen quotidien de production (exprimé en centaine d'euros) de cet engrais est modélisé parla fonction $f$ définie sur l'intervalle [5~;~60] par :

\[f(x) = x - 15 + \dfrac{400}{x}\]

où $x$ est le volume quotidien d'engrais fabriqué, exprimé en m$^3$.
La représentation graphique $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ est donnée dans le repère ci-contre :

\bigskip

\textbf{PARTIE A}

\begin{enumerate}
	\item Quel est le coût moyen quotidien pour la production de \np[m^3]{50} d'engrais ?
	
	\item Quels volumes d'engrais faut-il fabriquer pour avoir un coût moyen quotidien de production
	inférieur ou égal à \np{3500}~\euro ?
	
\end{enumerate}
\end{minipage}
\quad
\begin{minipage}{8cm}
	\psset{xunit=0.1cm,yunit=0.1cm,labelFontSize=\scriptstyle}
	\begin{pspicture}(-10,-10)(80,80)
		\multido{\n=0+5}{15}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,78)}
		\multido{\n=0+5}{16}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=lightgray](0,\n)(70,\n)}
		% \multido{\n=0+10}{8}{\psline[linewidth=0.6pt](\n,-4000)(\n,16000)}
		% \multido{\n=-4000+1000}{21}{\psline[linewidth=0.6pt](0,\n)(70,\n)}
		\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10,]{->}(0,0)(70,80)
		\def\Func{x 15 sub 400 x div add }
		\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{5}{60}{\Func}
		\uput[u](57,-10){\footnotesize Volume quotidien (en  m$^3$)}
		\uput[d](58,58){\blue $\displaystyle \mathcal{C}_f$}
		\uput[u](-8,20){\rotatebox{90}{\footnotesize Coût moyen (en centaines d'euros)} }
		\uput[d](65,0){$x$}\uput[l](0,75){$y$}
	\end{pspicture}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{PARTIE B}

\medskip

On cherche maintenant à déterminer pour quel volume le coût moyen
quotidien de production est minimal.

\begin{enumerate}
	\item Montrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [5~;~60],
	\[
	f(x)-25=\frac{x^2-40x+400}{x}.
	\]
	
	\item Déterminer la forme canonique du trinôme
	\[
	x^2-40x+400.
	\]
	
	\item En déduire que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [5~;~60],
	\[
	f(x)\geq25.
	\]
	
	\item Pour quel volume d'engrais fabriqué le coût moyen quotidien
	de production est-il minimal ? Quel est ce coût moyen minimal ?
\end{enumerate}
\end{document}