% =========================================================
% Classe de document
% =========================================================
\documentclass[a4paper,12pt,x11names]{article}

% =========================================================
% Encodage, langue
% =========================================================
\usepackage[latin1]{inputenc} % (UTF-8 possible si migration)
\usepackage[french]{babel}
\frenchbsetup{StandardLists=true}

% =========================================================
% Mathématiques
% =========================================================
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{dsfont}

\newcommand{\R}{\mathds{R}}
\newcommand{\N}{\mathds{N}}
\newcommand{\Z}{\mathds{Z}}
\newcommand{\C}{\mathds{C}}

\def\ds{\displaystyle}

% =========================================================
% Mise en page générale
% =========================================================
\usepackage[left=2cm,right=1.5cm,top=2.5cm,bottom=2.5cm]{geometry}

\setlength{\parindent}{0pt}
\hyphenpenalty=10000 % empêche la coupure de mots

% =========================================================
% En-têtes et pieds de page
% =========================================================
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}

\setlength{\headheight}{40pt}
\setlength{\footskip}{18pt}
\renewcommand{\headrulewidth}{1pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0pt}

% =========================================================
% Tableaux
% =========================================================
\usepackage{array}
\usepackage{tabularx}
\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} % centrage vertical

% =========================================================
% Colonnes, listes, divers
% =========================================================
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnseprule}{0.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

\usepackage{enumerate}
\usepackage{setspace}
\usepackage[np]{numprint}
\DecimalMathComma

\usepackage{eurosym}

% =========================================================
% Graphiques (PSTricks)
% =========================================================
\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{tikz}
% =========================================================
% Macros utilitaires
% =========================================================
\def\tvi{\vrule height 20pt depth 20pt width 0pt}

% =========================================================
% Paramètres document
% =========================================================
\def\monnumero{1}
\def\madate{Septembre 2026}

% =========================================================
% En-tête / pied de page
% =========================================================
\lhead{\footnotesize\textsf{Lycée Schuman Perret\\ \madate}}
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{Devoir surveillé No~\monnumero}\\1ère G}}}}
\rhead{}

\fancypagestyle{premierepage}{
	\fancyhf{}
	\lhead{\footnotesize\textsf{Lycée Schuman Perret\\ \madate}}
	\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{Contrôle N°~\monnumero}\\1ère Spé maths.}}}}
	\rhead{Nom :\begin{minipage}{4cm}\dotfill\end{minipage}\\~\\
		Prénom :\begin{minipage}{4cm}\dotfill\end{minipage}}
}

\lfoot{\scriptsize\textsf{\textsc{Stéphane Le Méteil}}}
\rfoot{\scriptsize\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}

% =========================================================
% Environnements Exercices
% =========================================================
\newcounter{nexo}\setcounter{nexo}{0}
\newcounter{ncor}\setcounter{ncor}{0}

\newcommand{\affichepoints}[1]{\reversemarginpar\if\relax\detokenize{#1}\relax\else\marginpar{\hspace*{0.5cm}\footnotesize#1\ifdim#1pt>1pt  \tiny{pts}\else \tiny{pt}\fi}\fi}

\newcommand{\points}[1]{\hskip -1.5cm {\blue\tiny #1}\hskip 1.cm}

\newcommand{\exo}[1]{\bigskip\stepcounter{nexo}\vskip0.3cm\par\noindent\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{\small 
				EXERCICE~\arabic{nexo}}}}\affichepoints{#1}\quad}

\newcommand{\cor}[1]{\bigskip\stepcounter{ncor}\vskip0.3cm\par\noindent\textsf{\textbf{\textcolor{red}{\small CORRIGÉ~\arabic{ncor}}}}\affichepoints{#1}\quad}

%========================================
% OUTILS
%========================================

\usepackage{pgf}
\usepackage{multicol}
\def\e{\text{e}}

\begin{document}
%\everymath{\displaystyle}
\doublespacing
\thispagestyle{premierepage}
\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{\small Soin : }}} écriture lisible, régulière, traits au crayon et à la règle, exercices séparés clairement.\affichepoints{2}

\exo{3} A l'aide de la calculatrice donner la valeur exacte de $U_{5}$ dans les trois cas suivants : 

\begin{enumerate}
	\item En sachant que $U_{n} = 3n+1$
	
	
	
	\item En sachant que $U_0=1$ et $U_{n+1} = 2U_n+3$
	
	
	
	\item En sachant que $U_0=0$ et $U_{n+1} = 3U_n+2n+1$
	

	\end{enumerate}


\exo{4} 	Pour tout $n\in\N$, on donne : $U_n = 5n+4$

\begin{enumerate}
	\item Calculer $U_0$,\quad $U_1$,\quad $U_2$,\quad $U_3$.
	\item Exprimer $U_{n+1}$ en fonction de $n$
	\item En déduire que $U_{n+1}-U_n = 5$
	\item A quelle famille appartient cette suite $(U_n)$ ? Quelle est sa raison ?
	\item \'Ecrire alors sa définition récursive.
\end{enumerate}

\exo{3} Sachant que $U$ est arithmétique, que $U_5 = 45$ et que $U_{10} = 125$, 

\begin{enumerate}
	\item Rappeler la définition explicite ou directe d'une suite arithmétique.
	\item Montrer que $R=16$ puis calculer $U_0$ 
	\item Montrer que $U_{32}=477$
	\item Combien y a-t-il de termes de $U_0$ à $U_{32}$ ? 
	\item En déduire la valeur exacte de la somme $S=U_0+\cdots+U_{32}$
\end{enumerate}

\eject

\exo{4} On considère la suite définie sur $\N$ par $U_0=3$ et $U_{n+1} = \dfrac13U_n+8$.

\begin{enumerate}
	\item Calculer $U_1$ et $U_2$.
	\item Expliquer pourquoi la suite n'est ni arithmétique ni géométrique.
	\item On pose pour tout $n\in\N$, $V_n = U_n-12$. Montrer que la suite $(V_n)$ est géométrique. Donner sa raison et son premier terme $V_0$
	\item Pour tout $n\in\N$, écrire $V_n$ puis $U_n$ en fonction de $n$
\end{enumerate}

\exo{4} 	\bigskip

\begin{list}{\textbullet}{Au 1\ier{} janvier 2026, un arboriculteur possède \np{5000} pommiers. Chaque année:}
	\item il arrache $4\,\%$ des pommiers car ils sont endommagés;
	\item il replante $300$ nouveaux pommiers.
\end{list}

On modélise la situation par une suite $(u_n)$ où, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ représente le nombre de pommiers possédés par l'arboriculteur au 1\ier{} janvier de l'année $(2026 + n)$.\index{suite}

\smallskip

On obtient ainsi une suite $(u_n)$ telle que: $u_0 = \np{5000}$ et $u_{n+1} = 0,96u_n + 300$, pour tout entier naturel $n$.

\begin{enumerate}
	\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
	
	Combien de pommiers possèdera l'arboriculteur au 1\ier{} janvier 2027 ?
	
	\item  On définit la suite $\left(v_n\right)$ par $v_n = u_n - \np{7500}$, pour tout entier naturel $n$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $v_{n+1} = 0,96v_n$ En déduire la famille à laquelle appartient la suite $(v_n)$. On précisera la raison et le premier terme $v_0$.
		\item  Donner la définition directe de la suite $(v_n)$.
		\item  En déduire que, pour tout entier naturel $n$: $u_n = \np{7500} - \np{2500} \times  0,96^n$.
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}


\end{document}