Résoudre : $ x^2 + $ $ x + $ $ = 0 $

Saisir des entiers ou des fractions (exemples : -3, 5/6), 3 chiffres au maximum par nombre.
Facile : $ a $, $ b $, $ c $ entiers et $ \Delta $ carré parfait. Moyen : $ a $, $ b $, $ c $ entiers et $ \Delta $ non carré parfait, ou bien des fractions avec $ \Delta $ carré parfait (tirage au hasard). Dur : des fractions et $ \Delta $ non carré parfait. Dans chaque niveau, une partie des tirages donne $ \Delta = 0 $ ou $ \Delta < 0 $ (réglable dans le script). Les boutons remplissent les champs, il reste à cliquer sur « Valider ».

On veut résoudre dans $ \mathbb{R} $ l’équation : $ x^2 - \frac{5}{6}x + \frac{1}{6} = 0 $

Solution :

On a : $ a = 1 $ , $ b = -\frac{5}{6} $ et $ c = \frac{1}{6} $ .

Pour éviter les fractions, multiplions les deux membres de l’équation par $ 6 $ (le plus petit multiple commun des dénominateurs). On obtient une équation qui a les mêmes solutions :

$ 6\times\left( x^2 - \frac{5}{6}x + \frac{1}{6} \right) = 6\times 0 $ soit $ 6x^2 - 5x + 1 = 0 $

On a maintenant : $ a = 6 $ , $ b = -5 $ et $ c = 1 $ .

Calculons le discriminant :

$ \Delta = b^2-4\times a\times c $
$~\qquad= (-5)^2-4\times 6\times 1 = 1 $

Comme $ \Delta > 0 $ , l’équation admet deux solutions réelles distinctes. De plus $ \Delta = 1^2 $ est un carré parfait, donc $ \sqrt{\Delta} = 1 $ .

$ x_1 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2\times a} = \frac{-(-5) - 1}{2\times 6} = \frac{1}{3} $

$ x_2 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2\times a} = \frac{-(-5) + 1}{2\times 6} = \frac{1}{2} $

Conclusion : l’ensemble des solutions est $ S = \left\{ \frac{1}{3} \, ; \, \frac{1}{2} \right\} $ .

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