Cet automate présente, pour un trinôme $ P(x) = ax^2+bx+c $, la forme canonique, les factorisations, la résolution de $ P(x)=0 $ et le tableau de signe. Les coefficients peuvent être des entiers ou des fractions.

$ x^2 + $ $ x + $

Saisir des entiers ou des fractions (exemples : -3, 5/6). Le coefficient $ a $ ne peut pas être nul.

On considère le polynôme : $ P(x) = $ $ x^2+3x+2 $

$ P(x) = \left(x+ \dfrac{3}{2}\right)^2-\left( \dfrac{3}{2}\right)^2+2 $
$ P(x) = \left(x+ \dfrac{3}{2}\right)^2- \dfrac{9}{4}+2 $
$ P(x) = \left(x+ \dfrac{3}{2}\right)^2- \dfrac{1}{4} $

$ P(x) = \left(x+ \dfrac{3}{2}\right)^2-\sqrt{ \dfrac{1}{4}}^2 $
$ P(x) = \left(x+ \dfrac{3}{2}\right)^2-\left( \dfrac{1}{2}\right)^2 $
$ P(x) = \left( x + \dfrac{3}{2}- \dfrac{1}{2} \right)\left( x + \dfrac{3}{2}+ \dfrac{1}{2} \right) $
$ P(x) = \left(x+1\right)\left(x+2\right) $

Si on note $ P(x) = ax^2 + bx+c $ alors :
$ \Delta = b^2-4ac = 3^2-4\times1\times2 = 1>0 $ delta est strictement positif
On calcule $ x_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\quad \text{et}\quad x_2 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$
Cela donne $ x_1 = \dfrac{-3-\sqrt{1}}{2}\quad \text{et}\quad x_2 = \dfrac{-3+\sqrt{1}}{2}$
Puis $ x_1 = -2\quad \text{et}\quad x_2 = -1 $

La factorisation est $ P(x) = \left(x+2\right)\left(x+1\right) $

$ P(x) = 0\quad\text{ssi}\quad \left(x+2\right)\left(x+1\right) = 0$
or un produit de facteurs est nul ssi l'un des facteurs est nul
donc $ \left(x+2\right) = 0\quad\text{ou}\quad \left(x+1\right) = 0 $
donc $ x = -2 \quad \text{ou}\quad x = -1 $

$ P(x) = \left(x+2\right)\left(x+1\right) $ Notons $ x_1 = -2 \quad \text{et}\quad x_2 = -1 $
Le facteur de $ x^2 $ est $ 1 $ , il est positif et les facteurs sont affines croissants, on a donc le tableau de signe suivant :
$$ \begin{array}{ |c| l ccc cc r|} \hline x &-\infty & & x_1 & & x_2 & &+ \infty \\ \hline (x-x_1) & & - & 0 & + & | & + & \\ \hline (x-x_2) & & - & | & - & 0 & + & \\ \hline P(x) & & + & 0 & - & 0 & + & \\ \hline\end{array} $$

La courbe représentative de $ P $ est une parabole. Son sommet est le point $ S\left( \dfrac{-3}{2} \,;\, \dfrac{-1}{4}\right) $ avec $ x_S = -\dfrac{b}{2a} $ et $ y_S = P(x_S) $. Comme $ a > 0 $, la parabole est tournée vers le haut : l'ordonnée $ \dfrac{-1}{4} $ du sommet est un minimum de $ P $.

Courbe en rouge au-dessus de l'axe des abscisses, en bleu en dessous. Les graduations sont choisies d'après les coefficients et peuvent différer sur les deux axes.

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