Résoudre :
$ x + $ $ y = $
$ x + $ $ y = $

Saisir des entiers ou des fractions (exemples : -3, 5/6), 3 chiffres au maximum par nombre. Un champ laissé vide vaut 0.
Facile : coefficients entiers et solution entière. Moyen : coefficients entiers et solution non entière, ou bien coefficients fractionnaires et solution entière (tirage au hasard). Dur : coefficients fractionnaires et solution non entière. Dans chaque niveau, une partie des tirages donne un système sans solution ou avec une infinité de solutions (réglable dans le script). Les boutons remplissent les champs, il reste à cliquer sur « Valider ».

On veut résoudre dans $ \mathbb{R}^2 $ le système :

$ \left\{\begin{matrix} x & + 2y & = & 3 \cr 4x & + 5y & = & 6 \end{matrix}\right. $

Solution :

Pour faire disparaître les $ x $ de la deuxième équation, on multiplie la première équation par $ 4 $ et la deuxième par $ 1 $ : les deux coefficients de $ x $ deviennent égaux à $ 4 $ .

$ \left\{\begin{matrix} x & + 2y & = & 3 \cr 4x & + 5y & = & 6 \end{matrix}\right. \qquad\begin{matrix} \times 4 \cr \times 1 \end{matrix} $

On obtient :

$ \left\{\begin{matrix} 4x & + 8y & = & 12 \cr 4x & + 5y & = & 6 \end{matrix}\right. $

On soustrait membre à membre ces deux équations (la première moins la deuxième) : les $ x $ disparaissent.

$ \left( 8 - 5 \right) y = 12 - 6 $ soit $ 3y = 6 $

On garde la première équation et on remplace la deuxième par celle-ci :

$ \left\{\begin{matrix} x & + 2y & = & 3 \cr & 3y & = & 6 \end{matrix}\right. $

On en déduit :

$ y = \frac{6}{3} = 2 $

On reporte la valeur de $ y $ dans la première équation :

$ \left\{\begin{matrix} x & + 2y & = & 3 \cr & y & = & 2 \end{matrix}\right. $

$ x + 2\times 2 = 3 $

$ x = 3 - 4 = -1 $

On en déduit :

$ x = -1 $

Finalement :

$ \left\{\begin{matrix} x & & = & -1 \cr & y & = & 2 \end{matrix}\right. $

Conclusion : le système admet une unique solution, $ x = -1 $ et $ y = 2 $ . L’ensemble des solutions est $ S = \left\{ \left( -1 \, ; \, 2 \right) \right\} $ .